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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2019

Nível 3 · Matemática: Vistas, projeções e planificações

A Figura 1 é uma planificação de um cubo. Fazendo as dobras necessárias e colando as arestas soltas, obtemos o cubo da Figura 2.

Figura 1: planificação de um cubo formada por seis quadrados dispostos em cruz; as faces contêm: círculo preto, quadrado branco contornado, triângulo branco apontando para a esquerda, quadrado preto, círculo branco contornado e triângulo preto apontando para a direita

Figura 2: vista em perspectiva do cubo montado, mostrando no topo o círculo branco, na face frontal o triângulo branco apontando para a esquerda e na face lateral direita o quadrado preto

a) Em uma outra vista do mesmo cubo, mostrada abaixo, está faltando o desenho na face da frente. Faça esse desenho.

Vista em perspectiva do cubo com círculo branco no topo e triângulo branco na face lateral direita; a face frontal está em branco

b) Abaixo temos outras duas vistas do mesmo cubo, cada uma com a face da frente sem desenho. Faça os desenhos que faltam nessas faces.

Duas vistas em perspectiva do mesmo cubo: à esquerda, círculo preto no topo e quadrado contornado na lateral direita; à direita, círculo preto no topo e quadrado preto na lateral direita; em ambos a face frontal está vazia

c) Abaixo temos uma outra planificação do mesmo cubo. Faça, nessa planificação, os desenhos que estão faltando.

Planificação do cubo com seis quadrados escalonados, contendo apenas o círculo preto e o quadrado branco contornado nas duas faces superiores

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Dobrando a figura planificada para montar o cubo, vemos que o círculo preto terá uma aresta em comum com o quadrado preto e com o triângulo preto. Isso mostra que a face com o círculo branco é oposta à face com o triângulo preto, a face com triângulo branco é oposta à face com círculo preto e a face com quadrado branco é oposta à face com o quadrado preto.

[Figura: Planificação de um cubo em formato de cruz: no topo, círculo branco; na faixa horizontal central, da esquerda para a direita, círculo preto, quadrado branco, triângulo branco apontando para a esquerda e quadrado preto; abaixo do quadrado preto, triângulo preto apontando para a direita.]

a) Se o cubo for posicionado com o círculo branco na face de cima, então as faces laterais serão exatamente as quatro faces que aparecem na fila horizontal central da planificação. Logo, o triângulo branco está numa face lateral e é vizinho das faces laterais com desenhos de quadrados, um branco e um preto. O triângulo “aponta” para o quadrado branco, que então é a figura que aparece no quadrado da frente, na vista espacial do cubo. Logo, a solução é:

[Figura: Cubo em perspectiva com a face superior contendo o círculo branco, a face lateral direita contendo o triângulo branco apontando para a esquerda e a face frontal contendo o quadrado branco.]

b) As faces com o círculo preto e o triângulo branco são opostas. Se a face com o círculo preto for a superior, nas faces laterais devem aparecer, além dos quadrados, o círculo branco e o triângulo preto. Como são opostas as faces com os quadrados, esses quadrados não podem aparecer numa mesma vista do cubo. Assim, nas vistas espaciais do cubo, abaixo, na face da frente só podem ser vistos o círculo branco e o triângulo preto.

[Figura: Esquema com setas curvas indicando as arestas que se unem ao dobrar a planificação original e, ao lado, as quatro faces laterais dispostas ao redor da face com o círculo preto: quadrado preto à esquerda, círculo branco acima, quadrado branco à direita e triângulo preto abaixo apontando para cima.]

Vamos nos certificar agora da orientação do triângulo preto. Na figura acima, à direita, vemos como se posicionam as faces laterais em que o círculo preto aparece no topo. Fica claro que, se a face lateral com o quadrado branco é visível à direita, na frente aparece o triângulo preto “apontando” para o círculo preto. As vistas são, então,

[Figura: Duas representações de cubos em perspectiva com o círculo preto no topo: o primeiro tem o triângulo preto apontando para cima na face frontal e o quadrado branco na lateral direita; o segundo tem o círculo branco na face frontal e o quadrado preto na lateral direita.]

c) Na nova planificação, a face com o círculo preto fica à esquerda da face com o quadrado branco (veja a ilustração a seguir). A face abaixo da face com o quadrado branco então é a face com o triângulo preto, conforme visto no item anterior (observe que o triângulo preto deve apontar para o círculo preto no cubo montado). Então a face à direita da face com o triângulo preto é a face oposta à face do círculo preto, logo é a face com o triângulo branco. O triângulo branco deve apontar para o quadrado branco no cubo montado. A face abaixo do triângulo branco é oposta à face com o quadrado branco, logo só pode ser a face com o quadrado preto. A face que falta é a do círculo branco.

[Figura: Sequência de cinco passos preenchendo a nova planificação: 1) faces iniciais com círculo preto e quadrado branco; 2) adição da face abaixo com o triângulo preto apontando para a esquerda; 3) adição da face à direita com o triângulo branco apontando para a esquerda; 4) adição da face abaixo com o quadrado preto; 5) planificação completa com a adição da face com o círculo branco.]

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a)

Ao dobrar a Figura 1, os quatro quadrados alinhados formam uma faixa ao redor do cubo. Nessa faixa, faces separadas por uma outra face ficam opostas: os dois quadrados são opostos, e o círculo preto é oposto ao triângulo branco.

Mantendo o círculo branco no topo, a rotação que leva o triângulo branco da frente para a direita traz para a frente a face oposta ao quadrado preto.

Na face da frente, desenhe um quadrado branco contornado (□).

b)

Dobrando a planificação com o círculo preto no topo e o quadrado contornado à direita, o triângulo preto fica na frente. Para determinar sua orientação, observe que sua ponta fica voltada para a aresta compartilhada com a face do círculo preto. Como esse círculo está no topo, a ponta deve ficar para cima.

Na segunda vista, o quadrado preto ocupa o lugar do quadrado contornado. Como esses quadrados são opostos, essa mudança corresponde a uma meia-volta do cubo, mantendo o topo fixo. Assim, aparece na frente a face oposta ao triângulo preto: o círculo branco.

Vista da esquerda: triângulo preto apontando para cima (▲). Vista da direita: círculo branco contornado (○).

c)

Ao dobrar a nova planificação, a casa à direita daquela abaixo do quadrado contornado fica oposta ao círculo preto: nela vai o triângulo branco. A casa imediatamente abaixo dessa fica oposta ao quadrado contornado: nela vai o quadrado preto.

Preservando as posições das faces do cubo original, a casa abaixo do quadrado contornado recebe o triângulo preto, e a última casa recebe o círculo branco.

Também precisamos conservar a orientação dos triângulos. O branco aponta para a aresta compartilhada com a face do quadrado contornado; o preto, para a aresta compartilhada com a face do círculo preto. Nessa planificação, eles apontam, respectivamente, para cima e para a esquerda.

O preenchimento fica assim, com as posições correspondentes às da Figura 5:

\begin{array}{cccc} \bullet & \square & & \\ & \blacktriangleleft & \triangle & \\ & & \blacksquare & \bigcirc \end{array}

Segunda linha: triângulo preto para a esquerda e triângulo branco para cima. Terceira linha: quadrado preto e círculo branco, da esquerda para a direita.

Assunto: Vistas, projeções e planificações.

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Questão 1 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2019

Fonte: OBMEP 2ª fase 2019 · Nível 3. Prova oficial ↗