A Figura 1 é uma planificação de um cubo. Fazendo as dobras necessárias e colando as arestas soltas, obtemos o cubo da Figura 2. a) Em uma outra vista do mesmo cubo, mostrada abaixo, está faltando o desenho na face da frente. Faça esse desenho. b) Abaixo temos outras duas vistas do mesmo cubo, cada uma com a face da frente sem desenho. Faça os desenhos que faltam nessas faces. c) Abaixo temos uma outra planificação do mesmo cubo. Faça, nessa planificação, os desenhos que estão faltando.

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2019

Nível 2 · Matemática: Vistas, projeções e planificações

A Figura 1 é uma planificação de um cubo. Fazendo as dobras necessárias e colando as arestas soltas, obtemos o cubo da Figura 2.

Figura 1: Planificação de um cubo com seis faces contendo círculo preto, quadrado vazado, triângulo vazado apontando para a esquerda, quadrado preto, triângulo preto apontando para a direita e círculo vazado Figura 2: Cubo montado mostrando na face superior um círculo vazado, na face frontal um triângulo vazado apontando para a esquerda e na face lateral direita um quadrado preto

a) Em uma outra vista do mesmo cubo, mostrada abaixo, está faltando o desenho na face da frente. Faça esse desenho.

Vista do cubo com círculo vazado no topo, triângulo vazado na face lateral direita e face frontal em branco

b) Abaixo temos outras duas vistas do mesmo cubo, cada uma com a face da frente sem desenho. Faça os desenhos que faltam nessas faces.

Duas vistas do cubo com face frontal em branco: o primeiro com círculo preto no topo e quadrado vazado na face direita; o segundo com círculo preto no topo e quadrado preto na face direita

c) Abaixo temos uma outra planificação do mesmo cubo. Faça, nessa planificação, os desenhos que estão faltando.

Nova planificação do cubo em formato escalonado, com o círculo preto e o quadrado vazado desenhados nas faces superiores e as demais faces em branco

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Solução oficial

Solução oficial da OBMEP

Dobrando a figura planificada para montar o cubo, vemos que o círculo preto terá uma aresta em comum com o quadrado preto e com o triângulo preto. Isso mostra que a face com o círculo branco é oposta à face com o triângulo preto, a face com triângulo branco é oposta à face com círculo preto e a face com quadrado branco é oposta à face com o quadrado preto.

[Figura: Planificação de um cubo formada por uma linha horizontal com quatro quadrados contendo, da esquerda para a direita, círculo preto, quadrado branco, triângulo branco apontando para a esquerda e quadrado preto; acima do quadrado preto há uma face com círculo branco e abaixo dele uma face com triângulo preto apontando para a direita, com arestas correspondentes marcadas em cores iguais.]

a) Se o cubo for posicionado com o círculo branco na face de cima, então as faces laterais serão exatamente as quatro faces que aparecem na fila horizontal central da planificação. Logo, o triângulo branco está numa face lateral e é vizinho das faces laterais com desenhos de quadrados, um branco e um preto. O triângulo “aponta” para o quadrado branco, que então é a figura que aparece no quadrado da frente, na vista espacial do cubo. Logo, a solução é:

[Figura: Cubo em perspectiva com a face superior contendo um círculo branco, a face da frente contendo um quadrado branco e a face lateral direita contendo um triângulo branco apontando para a face da frente.]

b) As faces com o círculo preto e o triângulo branco são opostas. Se a face com o círculo preto for a superior, nas faces laterais devem aparecer, além dos quadrados, o círculo branco e o triângulo preto. Como são opostas as faces com os quadrados, esses quadrados não podem aparecer numa mesma vista do cubo. Assim, nas vistas espaciais do cubo, abaixo, na face da frente só podem ser vistos o círculo branco e o triângulo preto.

[Figura: À esquerda, planificação original com setas curvas indicando as dobras das faces em torno da face central. À direita, planificação em cruz com o círculo preto na face central e as quatro faces laterais ao seu redor: acima o círculo branco, à esquerda o quadrado preto, à direita o quadrado branco e abaixo o triângulo preto apontando para o topo.]

Vamos nos certificar agora da orientação do triângulo preto. Na figura acima, à direita, vemos como se posicionam as faces laterais em que o círculo preto aparece no topo. Fica claro que, se a face lateral com o quadrado branco é visível à direita, na frente aparece o triângulo preto “apontando” para o círculo preto. As vistas são, então,

[Figura: Dois desenhos em perspectiva do cubo. No primeiro cubo: face superior com círculo preto, face frontal com triângulo preto apontando para cima e face lateral direita com quadrado branco. No segundo cubo: face superior com círculo preto, face frontal com círculo branco e face lateral direita com quadrado preto.]

c) Na nova planificação, a face com o círculo preto fica à esquerda da face com o quadrado branco (veja a ilustração a seguir). A face abaixo da face com o quadrado branco então é a face com o triângulo preto, conforme visto no item anterior (observe que o triângulo preto deve apontar para o círculo preto no cubo montado). Então a face à direita da face com o triângulo preto é a face oposta à face do círculo preto, logo é a face com o triângulo branco. O triângulo branco deve apontar para o quadrado branco no cubo montado. A face abaixo do triângulo branco é oposta à face com o quadrado branco, logo só pode ser a face com o quadrado preto. A face que falta é a do círculo branco.

[Figura: Sequência de cinco etapas do preenchimento da nova planificação em formato de escada: 1) linha superior com círculo preto e quadrado branco; 2) acréscimo do triângulo preto apontando para a esquerda abaixo do quadrado branco; 3) acréscimo do triângulo branco apontando para a esquerda à direita do triângulo preto; 4) acréscimo do quadrado preto abaixo do triângulo branco; 5) acréscimo do círculo branco à direita do quadrado preto, completando a planificação.]

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Questão 3 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2019

Fonte: OBMEP 2ª fase 2019 · Nível 2. Prova oficial ↗