Correção ENEM 2026Confira suas respostas do 1º dia com o gabarito dos cursinhos e a resolução das questões, até o INEP publicar o oficialVer a correção
Entrar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2019

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Na figura, o quadrado tem lado 1\text{ cm}. Os quatro triângulos azuis são iguais, assim como os dois triângulos amarelos menores. Os quatro triângulos amarelos maiores têm, cada um deles, base igual ao lado do quadrado, altura com relação a essa base igual a 1\text{ cm}, e seus outros dois lados com mesma medida. Dois lados do quadrilátero rosa são paralelos aos lados do quadrado.

Figura geométrica composta por um quadrado central de lado 1 cm com quatro triângulos isósceles idênticos acoplados aos seus lados (um em cada lado, de altura 1 cm). No interior do quadrado há quatro triângulos azuis e dois triângulos amarelos menores. No canto superior esquerdo, ligado ao vértice superior e ao vértice esquerdo das pontas dos triângulos amarelos, há um quadrilátero rosa com lados superior e esquerdo paralelos aos lados do quadrado central.

a) Qual é a área da região formada pelos triângulos azuis?

b) Qual é a área da região formada pelos triângulos amarelos?

c) Qual é a área do quadrilátero rosa?

Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Resolução comentada

Coloque o quadrado com vértices (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1), em cm. Pela figura, as linhas internas ligam cada vértice superior ao ponto médio do lado vertical oposto, e cada vértice inferior também. Elas se cruzam em (0{,}5;\,0{,}75) e (0{,}5;\,0{,}25).

a) Cada triângulo azul tem um cateto de 0{,}5 no lado do quadrado, que é metade do lado. A altura relativa a esse lado vai até o ponto de cruzamento, que fica a 0{,}5 do lado.

A_{azul}=\frac{0{,}5\cdot 0{,}5}{2}=\frac18\ \text{cm}^2

São quatro triângulos iguais:

4\cdot\frac18=\frac12\ \text{cm}^2

Resposta: \dfrac12\ \text{cm}^2.

b) Os amarelos são de dois tipos.

  1. Os quatro triângulos grandes têm base 1 e altura 1, então cada um tem área \frac{1\cdot1}{2}=\frac12. Juntos: 4\cdot\frac12=2.
  2. Os dois triângulos pequenos, dentro do quadrado, têm base 1 (no lado superior ou inferior) e altura 0{,}25, pois o cruzamento está a 0{,}25 do lado. Cada um tem área \frac{1\cdot 0{,}25}{2}=\frac18. Juntos: \frac14.
A_{amarelo}=2+\frac14=\frac94\ \text{cm}^2

Conferência: o losango branco tem diagonais 1 e 0{,}5, logo área \frac14. Então \frac12+\frac14+\frac14=1, a área do quadrado.

Resposta: \dfrac94=2{,}25\ \text{cm}^2.

c) Os vértices do quadrilátero rosa são o vértice superior esquerdo do quadrado (0,1), a ponta do triângulo de cima (0{,}5;\,2), a ponta do triângulo da esquerda (-1;\,0{,}5) e o canto (-1;\,2). Esse canto existe porque dois lados do rosa são paralelos aos lados do quadrado.

Considere o retângulo de vértices (-1;0{,}5) e (0{,}5;2), que mede 1{,}5\times1{,}5 e tem área 2{,}25. Dele saem três regiões que não são rosas:

  • metade esquerda do triângulo amarelo de cima, com vértices (0,1), (0{,}5;2) e (0{,}5;1): catetos 0{,}5 e 1, área 0{,}25;
  • metade de cima do triângulo amarelo da esquerda, com vértices (-1;0{,}5), (0,1) e (0;0{,}5): catetos 1 e 0{,}5, área 0{,}25;
  • o retângulo 0{,}5\times0{,}5 dentro do quadrado, com área 0{,}25.
A_{rosa}=2{,}25-0{,}75=1{,}5\ \text{cm}^2

Resposta: \dfrac32=1{,}5\ \text{cm}^2.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 4 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2019

Fonte: OBMEP 2ª fase 2019 · Nível 1. Prova oficial ↗