Os números da tabela abaixo serão colocados nos círculos coloridos de modo que nenhum deles apareça mais de uma vez e a soma dos números em três círculos consecutivos seja sempre um múltiplo de 3.
Coluna 1 \downarrow
Coluna 2 \downarrow
Coluna 3 \downarrow
1
2
3
4
5
6
7
8
9
a) Complete o preenchimento abaixo.
b) Explique por que, em qualquer preenchimento, três círculos consecutivos sempre serão preenchidos com números de colunas diferentes da tabela.
c) Quantos preenchimentos diferentes são possíveis?
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Resolução comentada
a) Olhe os restos da divisão por 3. Coluna 1: 1,4,7 (resto 1). Coluna 2: 2,5,8 (resto 2). Coluna 3: 3,6,9 (resto 0).
Se três círculos consecutivos somam um múltiplo de 3, e os dois grupos vizinhos (a,b,c) e (b,c,d) têm essa propriedade, então a+b+c e b+c+d são múltiplos de 3. Logo d-a também é, ou seja, d e a têm o mesmo resto. Assim, os restos se repetem de 3 em 3 círculos.
Seguindo o sentido horário a partir do 1 (resto 1) e do 5 (resto 2), o terceiro círculo precisa ter resto 0. O padrão de restos é então 1,2,0,1,2,0,1,2,0.
Basta colocar, nos círculos de resto 1, os números 1,4,7; nos de resto 2, os números 2,5,8; nos de resto 0, os números 3,6,9. Um preenchimento possível, no sentido horário a partir do 1, é:
1,\ 5,\ 3,\ 4,\ 2,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9
Conferindo as somas consecutivas: 9,\ 12,\ 9,\ 12,\ 15,\ 21,\ 24,\ 18,\ 15, todas múltiplos de 3.
Um preenchimento correto é 1, 5, 3, 4, 2, 6, 7, 8, 9 (sentido horário a partir do 1). Outros preenchimentos também servem, desde que os restos sigam o padrão acima.
b) Três números consecutivos somam um múltiplo de 3. Suponha que dois deles tenham o mesmo resto r. O terceiro precisa ter resto s com r+r+s múltiplo de 3, isto é, s\equiv -2r\equiv r \pmod 3. Então os três teriam o mesmo resto.
Como os restos se repetem de 3 em 3 círculos (visto no item a), todos os 9 círculos teriam o mesmo resto. Isso é impossível, pois cada resto aparece em apenas 3 números da tabela.
Portanto, os três círculos consecutivos têm restos diferentes, ou seja, números de colunas diferentes.
Em três círculos consecutivos os restos precisam ser todos diferentes; caso contrário os 9 círculos teriam o mesmo resto, o que é impossível. Logo vêm de colunas diferentes.
c) Pelo item b, os três primeiros círculos têm uma ordem das três colunas, e o padrão se repete nos demais.
Ordem das colunas nos três primeiros círculos: 3\cdot 2\cdot 1=6 maneiras.
Fixado o padrão, os três círculos de uma mesma coluna (posições i, i+3, i+6) recebem os 3 números dessa coluna em qualquer ordem: 3!=6 maneiras por coluna.
Para as três colunas: 6\cdot 6\cdot 6=216.
Total: 6\cdot 216=1296.
Como os círculos têm cores diferentes, giros do mesmo preenchimento contam como preenchimentos distintos.
