Questão 4 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2019

Question

A calculadora de Dario tem uma tecla especial. Se um número n diferente de 2 está no visor e ele aperta a tecla especial, aparece o número \frac{2 \times n}{n - 2}. Por exemplo, se o número 3 está no visor, ao apertar a tecla especial, aparece o número 6, pois \frac{2 \times 3}{3 - 2} = 6.

Ilustração de um menino usando uma calculadora

a) Se o número 6 está no visor, qual é o número que aparecerá se a tecla especial for apertada?

b) Explique por que, ao apertar duas vezes a tecla especial, Dario sempre obtém o número que estava inicialmente no visor.

c) Para quais valores no visor Dario obtém o mesmo número ao apertar a tecla especial uma única vez?

d) Qual é o número que nunca será obtido ao apertar a tecla especial?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2019

Nível 2 · Matemática: Conceito de função, composta e inversa

A calculadora de Dario tem uma tecla especial. Se um número n diferente de 2 está no visor e ele aperta a tecla especial, aparece o número \frac{2 \times n}{n - 2}. Por exemplo, se o número 3 está no visor, ao apertar a tecla especial, aparece o número 6, pois \frac{2 \times 3}{3 - 2} = 6.

Ilustração de um menino usando uma calculadora

a) Se o número 6 está no visor, qual é o número que aparecerá se a tecla especial for apertada?

b) Explique por que, ao apertar duas vezes a tecla especial, Dario sempre obtém o número que estava inicialmente no visor.

c) Para quais valores no visor Dario obtém o mesmo número ao apertar a tecla especial uma única vez?

d) Qual é o número que nunca será obtido ao apertar a tecla especial?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Basta substituir n por 6 e teremos \frac{2 \times 6}{6-2} = \frac{12}{4} = 3.

b) Vamos chamar de n o número que estava no visor no início. Ao apertar pela primeira vez a tecla especial, aparecerá no visor \frac{2n}{n-2} = y. Com a tecla especial sendo apertada mais uma vez, teremos no visor o número \frac{2y}{y-2}.

• Substituindo y por \frac{2n}{n-2}, temos que o número que aparecerá no visor é

\frac{2\left(\frac{2n}{n-2}\right)}{\left(\frac{2n}{n-2}\right)-2} = \frac{\frac{4n}{n-2}}{\frac{2n}{n-2}-2} = \frac{4n}{4} = n.

c) Igualando n a \frac{2n}{n-2}, temos: n^2 - 2n = 2n \implies n^2 - 4n = n(n - 4) = 0. Assim, há duas soluções: n = 0 e n = 4.

d) Todo número diferente de 2 pode ser obtido ao apertar a tecla especial; como vimos no item b), para obter o número n diferente de 2, basta digitar o número \frac{2n}{n-2}. O número que nunca será obtido no visor é o 2, pois se igualarmos \frac{2n}{n-2} = 2, teremos 2n = 2n - 4, ou seja, 0 = -4, o que é impossível.

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Resolução comentada

Chamando a tecla especial de f(n)=\dfrac{2n}{n-2}, com n\neq 2:

a) Basta substituir n=6:

f(6)=\frac{2\times 6}{6-2}=\frac{12}{4}=3.

Resposta: 3.

b) Seja n o número inicial. Ao apertar a tecla uma vez, aparece m=\dfrac{2n}{n-2}.

Primeiro vale conferir que m\neq 2, para a tecla poder ser apertada de novo. Se fosse \frac{2n}{n-2}=2, teríamos 2n=2n-4, o que é impossível.

Agora aplicamos a tecla em m:

f(m)=\frac{2\cdot\frac{2n}{n-2}}{\frac{2n}{n-2}-2}=\frac{\frac{4n}{n-2}}{\frac{2n-2(n-2)}{n-2}}=\frac{\frac{4n}{n-2}}{\frac{4}{n-2}}=\frac{4n}{4}=n.

Logo, apertar duas vezes devolve sempre o número inicial.

Resposta: f(f(n))=n para todo n\neq 2.

c) Queremos f(n)=n, isto é, \dfrac{2n}{n-2}=n. Multiplicando por n-2 (que não é zero):

2n=n(n-2)\Rightarrow n^2-4n=0\Rightarrow n(n-4)=0.

Assim, n=0 ou n=4. Conferindo: f(0)=\frac{0}{-2}=0 e f(4)=\frac{8}{2}=4.

Resposta: n=0 e n=4.

d) O número 2 nunca aparece. Para aparecer 2 precisaríamos de \frac{2n}{n-2}=2, ou seja, 2n=2n-4, que é impossível.

Já qualquer outro número m\neq 2 pode aparecer: pelo item (b), se o visor mostra n=f(m), ao apertar a tecla obtemos f(f(m))=m. (Note que f(m)\neq 2, como visto no item (b).)

Resposta: o número 2.

Assuntos: Conceito de função, composta e inversa, Equações do 1º grau e problemas.

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OBMEP 2ª fase 2019 · Questão 2 (Nível 3)d) Qual é o número que nunca será obtido ao apertar a tecla especial?

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Questão 4 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2019

Fonte: OBMEP 2ª fase 2019 · Nível 2. Prova oficial ↗