Questão 2 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2019

Question

Na figura, OA = OB = OC. Os pontos A, O e D estão alinhados, e os pontos D e E no segmento BC são tais que BD = DE = EC = OD = OE.

Triângulo ABC com ponto interior O e pontos D e E no lado BC. Segmentos OA, OB e OC estão marcados com um tracinho simples indicando medidas iguais. Segmentos OD, OE, BD, DE e EC estão marcados com dois tracinhos indicando medidas iguais. Os pontos A, O e D estão sobre a mesma reta.

a) Calcule a medida do ângulo O\hat{D}E.

b) Calcule a medida do ângulo B\hat{O}E.

c) Calcule a medida do ângulo B\hat{A}C.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2019

Nível 2 · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

Na figura, OA = OB = OC. Os pontos A, O e D estão alinhados, e os pontos D e E no segmento BC são tais que BD = DE = EC = OD = OE.

Triângulo ABC com ponto interior O e pontos D e E no lado BC. Segmentos OA, OB e OC estão marcados com um tracinho simples indicando medidas iguais. Segmentos OD, OE, BD, DE e EC estão marcados com dois tracinhos indicando medidas iguais. Os pontos A, O e D estão sobre a mesma reta.

a) Calcule a medida do ângulo O\hat{D}E.

b) Calcule a medida do ângulo B\hat{O}E.

c) Calcule a medida do ângulo B\hat{A}C.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Como OE = OD = DE, segue que o triângulo ODE é equilátero. Logo m(O\widehat{D}E) = m(O\widehat{E}D) = m(D\widehat{O}E) = 60^\circ.

b) Observe que m(B\widehat{O}E) = m(B\widehat{O}D) + m(D\widehat{O}E) = m(B\widehat{O}D) + 60^\circ. Por outro lado, o ângulo B\widehat{O}D é um dos ângulos da base do triângulo isósceles OBD, já que OD = BD; além disso, o ângulo oposto à base OB desse triângulo mede 120^\circ, já que é suplementar do ângulo O\widehat{D}E que, como vimos no item anterior, mede 60^\circ. Assim m(B\widehat{O}D) = \frac{180^\circ - m(B\widehat{D}O)}{2} = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ. Concluímos então que m(B\widehat{O}E) = m(B\widehat{O}D) + 60^\circ = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ.

c) Observe que m(B\widehat{A}C) = m(B\widehat{A}O) + m(O\widehat{A}C) = \alpha + \beta, como na figura ao lado. Como os triângulos OAB e OAC são isósceles, segue que m(A\widehat{B}O) = \alpha e m(A\widehat{C}O) = \beta. Além disso, os triângulos ODB e OEC são congruentes pelo caso Lado-Ângulo-Lado, e, portanto, m(O\widehat{E}C) = 120^\circ, m(O\widehat{C}E) = 30^\circ e m(C\widehat{O}E) = 30^\circ. Somando os ângulos internos do triângulo ABC, temos (\alpha + 30^\circ) + (\beta + 30^\circ) + (\alpha + \beta) = 180^\circ. Logo 2\alpha + 2\beta = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ e, portanto, m(B\widehat{A}C) = \alpha + \beta = 60^\circ.

É fácil observar também que \alpha = 15^\circ e \beta = 45^\circ, pois A, O e D estão alinhados.

Há muitas outras soluções; uma segunda solução é a seguinte:

Observe que o triângulo ABC está inscrito na circunferência de centro O e raio OA. O ângulo central B\widehat{O}C e o ângulo inscrito B\widehat{A}C enxergam o mesmo arco. Como B\widehat{O}C mede 120^\circ, então B\widehat{A}C mede metade, ou seja, 60^\circ.

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Resolução comentada

a) O triângulo ODE tem OD = DE = OE, ou seja, é equilátero. Logo todos os seus ângulos medem 60^\circ.

O\hat{D}E = 60^\circ

b) Os pontos B, D e E estão alinhados, então O\hat{D}B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ.

No triângulo OBD temos BD = OD, então ele é isósceles com vértice em D. Os ângulos da base são iguais:

D\hat{B}O = B\hat{O}D = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ.

Como D está entre B e E, o ângulo B\hat{O}E é a soma de B\hat{O}D com D\hat{O}E:

B\hat{O}E = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ.

c) Pelo mesmo raciocínio, o triângulo OEC tem EC = OE e O\hat{E}C = 120^\circ. Então E\hat{O}C = 30^\circ.

Assim, B\hat{O}C = 30^\circ + 60^\circ + 30^\circ = 120^\circ.

Como OA = OB = OC, o ponto O é o circuncentro do triângulo ABC. O ângulo central B\hat{O}C vale o dobro do ângulo inscrito B\hat{A}C, que enxerga o mesmo arco:

B\hat{A}C = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ.

Conferindo sem o circuncentro: como A, O, D estão alinhados, A\hat{O}B = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ e A\hat{O}C = 180^\circ - (60^\circ + 30^\circ) = 90^\circ. Nos triângulos isósceles AOB e AOC, os ângulos em A valem \frac{180^\circ-150^\circ}{2} = 15^\circ e \frac{180^\circ-90^\circ}{2} = 45^\circ. A soma é 60^\circ.

B\hat{A}C = 60^\circ

Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Ângulos, polígonos e quadriláteros.

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Questão 2 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2019

Fonte: OBMEP 2ª fase 2019 · Nível 2. Prova oficial ↗