Questão 6 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2019

Question

Um triângulo com vértices em três dos 16 pontos do quadriculado ao lado é chamado de torto quando, no máximo, um de seus lados está sobre as linhas do quadriculado. Por exemplo, o triângulo ABC é torto e o triângulo ABD não é torto.

Quadriculado 4 por 4 de linhas tracejadas com pontos em suas interseções. Estão destacados em preto os pontos A (linha 1, coluna 1), B (linha 1, coluna 2), D (linha 3, coluna 2) e C (linha 3, coluna 4). Os demais pontos são círculos vazados.

a) Diga se cada um dos triângulos ACD e BCD da figura ao lado são tortos ou não.

b) Marque seis pontos no quadriculado de tal forma que qualquer triângulo com vértices em três desses pontos seja torto.

Quadriculado 4 por 4 de linhas tracejadas com círculos vazados nas 16 interseções.

c) Explique por que, independentemente de como sete pontos sejam marcados no quadriculado, sempre vai existir um triângulo que não é torto com vértices nesses pontos.

Answer 1

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Questão 6 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2019

Nível 2 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Um triângulo com vértices em três dos 16 pontos do quadriculado ao lado é chamado de torto quando, no máximo, um de seus lados está sobre as linhas do quadriculado. Por exemplo, o triângulo ABC é torto e o triângulo ABD não é torto.

Quadriculado 4 por 4 de linhas tracejadas com pontos em suas interseções. Estão destacados em preto os pontos A (linha 1, coluna 1), B (linha 1, coluna 2), D (linha 3, coluna 2) e C (linha 3, coluna 4). Os demais pontos são círculos vazados.

a) Diga se cada um dos triângulos ACD e BCD da figura ao lado são tortos ou não.

b) Marque seis pontos no quadriculado de tal forma que qualquer triângulo com vértices em três desses pontos seja torto.

Quadriculado 4 por 4 de linhas tracejadas com círculos vazados nas 16 interseções.

c) Explique por que, independentemente de como sete pontos sejam marcados no quadriculado, sempre vai existir um triângulo que não é torto com vértices nesses pontos.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) O triângulo ACD é torto, e o triângulo BCD não é torto.

[Figura: Duas malhas pontilhadas 4 \times 4. Na malha da esquerda, os vértices A (linha 1, coluna 1), B (linha 1, coluna 2), C (linha 3, coluna 3) e D (linha 3, coluna 2), com o triângulo obtusângulo ACD destacado por linhas contínuas pretas. Na malha da direita, os mesmos pontos, com o triângulo retângulo BCD destacado por linhas contínuas pretas.]

b) Duas soluções são as seguintes:

[Figura: Duas malhas pontilhadas 4 \times 4. Na malha da esquerda, 6 pontos marcados com círculos pretos preenchidos: três na primeira coluna (linhas 1, 2 e 3) e três na quarta linha (colunas 2, 3 e 4). Na malha da direita, 6 pontos pretos preenchidos: na linha 1 (coluna 3), na linha 2 (colunas 1, 2 e 4), na linha 3 (coluna 3) e na linha 4 (coluna 3).]

Há muitas outras soluções (por exemplo, girando ou refletindo convenientemente as soluções acima obtêm-se novas soluções).

c) Suponha que existam 7 pontos marcados no quadriculado e que qualquer triângulo com vértices em três desses pontos seja torto. Vamos mostrar que isso nos levará a uma contradição.

Como existem apenas 4 linhas, pelo menos uma delas terá no mínimo 2 pontos. Concentremos atenção nessa linha e vamos dividir nossa análise em casos.

Caso 1: Se essa linha contém 4 pontos marcados, o tabuleiro não pode possuir nenhum outro ponto marcado nas demais linhas, senão formaríamos triângulos não tortos, e isso é uma contradição. Como exemplo, observe na figura abaixo a formação de um triângulo não torto ao acrescentarmos um quinto ponto.

[Figura: À esquerda, malha 4 \times 4 com os 4 pontos da segunda linha marcados e envoltos por uma faixa horizontal cinza. Uma seta aponta para uma malha à direita idêntica, mas com um quinto ponto adicionado na terceira linha (coluna 2), formando um triângulo retângulo com dois pontos da linha superior.]

Caso 2: Se essa linha contém exatamente três pontos marcados, as colunas que passam por eles não podem conter outros pontos marcados, senão formaríamos triângulos não tortos. Assim, os demais 4 pontos ainda não marcados estão na coluna que não passa pelos três pontos já marcados, mas com 4 pontos marcados alinhados obtemos sempre triângulos não tortos com o auxílio de um quinto ponto, como vimos acima. Novamente chegamos a uma contradição. Veja uma situação típica:

[Figura: Malha 4 \times 4 com três pontos marcados na segunda linha (colunas 1, 2 e 4), e a terceira coluna envolta por uma caixa retangular vertical contendo pontos não marcados.]

Caso 3: Resta analisarmos a situação em que uma linha contém exatamente dois pontos, como ilustrado na figura a seguir.

[Figura: Malha 4 \times 4 com dois pontos marcados na segunda linha (colunas 1 e 2), e as duas últimas colunas destacadas por uma caixa retangular vertical.]

Os demais 7 - 2 = 5 pontos devem ser distribuídos nas duas colunas que não contêm esses dois pontos, senão novamente formaríamos triângulos não tortos. Assim, pelo menos uma dessas colunas terá 3 ou 4 pontos marcados. Aplicando os argumentos dos casos 1 e 2, trocando linhas por colunas, chegamos novamente a uma contradição.

Logo, independentemente de como sete pontos sejam marcados no quadriculado, sempre vai existir um triângulo que não é torto com vértices nesses pontos.

Observação: Se escolhermos n + m - 1 pontos (ou mais) em um quadriculado n \times m, então, necessariamente, 3 deles serão os vértices de um triângulo não torto.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Vamos usar coordenadas (linha, coluna), com a linha 1 em cima. Então A=(1,1), B=(1,2), D=(3,2) e C=(3,4).

Um lado do triângulo está sobre as linhas do quadriculado quando seus dois vértices estão na mesma linha ou na mesma coluna.

a)

Triângulo ACD: CD está na linha 3, então está sobre o quadriculado. AD vai de (1,1) a (3,2) e AC vai de (1,1) a (3,4). Esses dois lados são oblíquos. Só um lado está sobre as linhas, então ACD é torto.
Triângulo BCD: BD está na coluna 2 e CD está na linha 3. Há dois lados sobre as linhas, então BCD não é torto.

Resposta do item a): ACD é torto e BCD não é torto.

b)

Um triângulo não é torto quando tem dois lados sobre o quadriculado. Esses lados são um horizontal e um vertical que se encontram em um vértice, formando um ângulo reto. Dois lados horizontais seriam colineares.

Logo, um conjunto de pontos só tem triângulos tortos se nenhum ponto tiver, ao mesmo tempo, outro ponto na sua linha e outro na sua coluna.

Uma escolha que serve, com seis pontos:

(1,1),\ (1,2),\ (1,4),\ (2,3),\ (3,3),\ (4,3).

Os três pontos da linha 1 estão em colunas diferentes (1, 2 e 4) e nenhum outro ponto está nessas colunas.
Os três pontos da coluna 3 estão em linhas diferentes (2, 3 e 4) e nenhum outro ponto está nessas linhas.

Assim, cada ponto é o único da sua coluna ou o único da sua linha, e nenhum triângulo tem dois lados sobre o quadriculado.

Resposta do item b): os pontos (1,1),(1,2),(1,4),(2,3),(3,3),(4,3), por exemplo.

c)

Vamos supor que existam sete pontos sem nenhum triângulo não torto. Pelo item b, cada ponto é o único da sua linha ou o único da sua coluna.

Seja T o conjunto dos pontos que são únicos na própria linha, com t pontos, e S os demais, com s pontos. Os pontos de S são únicos na própria coluna.

Os pontos de T ocupam t linhas diferentes, então t\le 4.
Os pontos de S ocupam s colunas diferentes, então s\le 4.

Como t+s=7, só há duas possibilidades: (t,s)=(4,3) ou (3,4).

Se s=4: os pontos de S ocupam as 4 colunas, e cada um é o único da sua coluna. Mas os 3 pontos de T também estão em alguma coluna, e essa coluna já tem um ponto de S. Isso é uma contradição.
Se t=4: os pontos de T ocupam as 4 linhas, e cada um é o único da sua linha. Mas os 3 pontos de S também estão em alguma linha, e essa linha já tem um ponto de T. Isso é uma contradição.

Portanto, com sete pontos, algum ponto tem um vizinho na sua linha e outro na sua coluna. Esses três pontos formam um triângulo retângulo com dois lados sobre o quadriculado, que não é torto.

Resposta do item c): a suposição leva a contradição; logo, com sete pontos sempre existe um triângulo não torto.

Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Questão 6 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2019

Fonte: OBMEP 2ª fase 2019 · Nível 2. Prova oficial ↗