PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 2 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2019
A calculadora de Dario tem uma tecla especial. Se um número n diferente de 2 está no visor e ele aperta a tecla especial, aparece o número \frac{2 \times n}{n - 2}. Por exemplo, se o número 3 está no visor, ao apertar a tecla especial, aparece o número 6, pois \frac{2 \times 3}{3 - 2} = 6.
a) Se o número 6 está no visor, qual é o número que aparecerá se a tecla especial for apertada?
b) Explique por que, ao apertar duas vezes a tecla especial, Dario sempre obtém o número que estava inicialmente no visor.
c) Para quais valores no visor Dario obtém o mesmo número ao apertar a tecla especial uma única vez?
d) Qual é o número que nunca será obtido ao apertar a tecla especial?
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) Basta aplicar a regra com n=6:
Aparecerá o número 3.
b) Seja n o número inicial (com n\neq 2). Após a primeira vez, aparece m=\dfrac{2n}{n-2}. Calculamos:
- m-2=\dfrac{2n}{n-2}-2=\dfrac{2n-2(n-2)}{n-2}=\dfrac{4}{n-2}. Esse valor nunca é zero, então m\neq 2 e a tecla pode ser apertada de novo.
- 2m=\dfrac{4n}{n-2}.
Apertando a segunda vez:
Logo, duas vezes a tecla sempre devolvem o número inicial n.
c) Queremos \dfrac{2n}{n-2}=n, com n\neq 2. Multiplicando por n-2:
Assim, n=0 ou n=4. Conferindo: \frac{2\cdot 0}{0-2}=0 e \frac{2\cdot 4}{4-2}=4.
Os valores são 0 e 4.
d) Suponha que, ao apertar a tecla, apareça o número k: \dfrac{2n}{n-2}=k. Então 2n=kn-2k, ou seja, n(k-2)=2k.
Se k=2, ficaria 0=4, o que é impossível. Logo nenhum n produz o resultado 2. Para k\neq 2 sempre existe n=\dfrac{2k}{k-2}, que é diferente de 2, e portanto k pode ser obtido.
O número que nunca será obtido é o 2.
Assuntos: Equação do 2º grau, Conceito de função, composta e inversa.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2019 · Nível 3. Prova oficial ↗