Questão 6 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2018

Question

Números naturais devem ser escritos dentro de cada círculo vazio da figura, de modo que a soma dos números escritos em três círculos alinhados e consecutivos seja sempre a mesma.

Estrutura triangular com 21 círculos interligados dispostos em 6 linhas horizontais. O círculo do topo é vermelho. Na quarta linha de cima para baixo, o primeiro círculo contém o número 3 e o terceiro contém o número 2. Na linha inferior (base), o primeiro círculo à esquerda contém o número 2 e o último círculo à direita é azul. Todos os demais círculos estão vazios.

a) Qual número deverá ser escrito no círculo vermelho?

b) Mostre que a soma de todos os números escritos é um múltiplo de 7.

c) Para que a soma de todos os números escritos seja 63, qual número deverá ser escrito no círculo azul?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2018

Nível 1 · Matemática: Sequências e padrões

Números naturais devem ser escritos dentro de cada círculo vazio da figura, de modo que a soma dos números escritos em três círculos alinhados e consecutivos seja sempre a mesma.

Estrutura triangular com 21 círculos interligados dispostos em 6 linhas horizontais. O círculo do topo é vermelho. Na quarta linha de cima para baixo, o primeiro círculo contém o número 3 e o terceiro contém o número 2. Na linha inferior (base), o primeiro círculo à esquerda contém o número 2 e o último círculo à direita é azul. Todos os demais círculos estão vazios.

a) Qual número deverá ser escrito no círculo vermelho?

b) Mostre que a soma de todos os números escritos é um múltiplo de 7.

c) Para que a soma de todos os números escritos seja 63, qual número deverá ser escrito no círculo azul?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) De acordo com o enunciado, a soma dos números escritos em três círculos alinhados e consecutivos é sempre a mesma. Assim, olhando para a figura abaixo, vemos que será escrito o mesmo número, que denotaremos por x, nos dois círculos entre os círculos em que estão escritos os números 2 e 3.

[Figura: Disposição triangular de círculos com o círculo do topo preenchido em vermelho e o círculo no canto inferior direito em azul. No lado esquerdo, vê-se a sequência de círculos com 2, x, 3 e, ao lado de x e 3, outros círculos com x e 2.]

Além disso, se em dois de três círculos alinhados e consecutivos estiverem escritos os números 2, 3 ou x, sempre será possível saber o número que está escrito no terceiro círculo. Desta forma, é possível completar a escrita dos números em todos os círculos que estão alinhados com os círculos em que estão escritos 2, 3 e x, como abaixo:

[Figura: Disposição triangular de círculos parcialmente preenchida com 2, 3 e x, com o número 3 no círculo vermelho do topo.]

Logo, deverá ser escrito o número 3 no círculo vermelho. Isto responde o item a).

b) Seguindo o mesmo raciocínio do item anterior, “se em dois de três círculos alinhados e consecutivos estiverem escritos os números 2, 3 ou x, sempre será possível saber o número que está escrito no terceiro círculo”, podemos completar a escrita em todos os círculos da figura, como abaixo:

[Figura: Disposição triangular de círculos totalmente preenchida com os números 2, 3 e a letra x, com o topo vermelho contendo 3 e a base azul contendo x.]

Logo, ao final, serão escritos sete números 2, sete números 3 e sete números x. Assim, a soma de todos os números escritos é um múltiplo de 7.

c) No preenchimento completo que fizemos acima, vemos que no círculo azul será escrito o número x e, para que a soma de todos os números escritos seja 63, o valor de x deve ser

\frac{63-7\times 2-7\times 3}{7} = \frac{63-14-21}{7} = \frac{28}{7} = 4.

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Resolução comentada

a)

Observe quatro círculos alinhados e consecutivos, com números a,b,c,d. Como as duas trincas consecutivas têm a mesma soma,

a+b+c=b+c+d \quad\Rightarrow\quad a=d.

Portanto, números separados por três posições em uma linha são iguais. Esse raciocínio vale nas horizontais e nas duas direções inclinadas.

Na borda esquerda, o círculo vermelho e o círculo com 3 na quarta linha estão exatamente nessa situação.

No círculo vermelho deve ser escrito o número 3.

b)

Pela propriedade do item anterior, o terceiro círculo da borda esquerda tem o mesmo número do primeiro círculo da base: 2. Chamando de x o número do segundo círculo dessa borda, a soma comum das trincas é

S=3+x+2=5+x.

A diagonal que passa por esse x e pelo 2 dado na quarta linha determina o número central da terceira linha: ele deve ser 3.

Usando a soma S e a repetição a cada três posições, completamos a figura, de cima para baixo:

\begin{gathered} 3\\ x\quad 2\\ 2\quad 3\quad x\\ 3\quad x\quad 2\quad 3\\ x\quad 2\quad 3\quad x\quad 2\\ 2\quad 3\quad x\quad 2\quad 3\quad x \end{gathered}

Há sete ocorrências de cada um dos valores 3, 2 e x. Logo, a soma total é

T=7\cdot3+7\cdot2+7x=7(5+x).

Como x é natural, a soma de todos os números é um múltiplo de 7.

c)

No preenchimento obtido no item anterior, o círculo azul contém x. Como a soma total deve ser 63, temos

7(5+x)=63.

Dividindo os dois lados por 7 e isolando x,

5+x=9 \quad\Rightarrow\quad x=4.

Com esse valor, os círculos recebem apenas os números 2, 3 e 4, e cada trinca alinhada e consecutiva soma 9. Como cada um desses valores aparece sete vezes, a soma total é realmente 7(2+3+4)=63.

No círculo azul deve ser escrito o número 4.

Assuntos: Sequências e padrões, Divisibilidade, MMC e MDC.

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Questão 6 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2018

Fonte: OBMEP 2ª fase 2018 · Nível 1. Prova oficial ↗