Questão 5 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2018

Question

Um “matemágico” testa uma nova mágica com Helena. Ele diz a ela:

pense em dois números de 1 a 9, um par e um ímpar;
calcule a soma dos números em que você pensou;
calcule agora a diferença entre o maior e o menor dos números em que você pensou;
multiplique a soma pela diferença;
diga qual foi o resultado dessa multiplicação e eu descobrirei quais são os números em que você pensou.

Ilustração de um homem vestido de mágico segurando uma varinha e uma cartola, apresentando um truque de mágica para uma menina sentada no chão

a) Se Helena pensar nos números 4 e 9, que número ela vai dizer ao matemágico?

b) Se Helena disser 21, em quais números ela pensou?

c) Explique por que Helena sempre irá dizer um número ímpar.

d) Explique por que, se Helena disser 15, o matemágico ficará em dúvida sobre quais seriam os números em que ela pensou.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2018

Nível 1 · Matemática: Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração

Um “matemágico” testa uma nova mágica com Helena. Ele diz a ela:

pense em dois números de 1 a 9, um par e um ímpar;
calcule a soma dos números em que você pensou;
calcule agora a diferença entre o maior e o menor dos números em que você pensou;
multiplique a soma pela diferença;
diga qual foi o resultado dessa multiplicação e eu descobrirei quais são os números em que você pensou.

Ilustração de um homem vestido de mágico segurando uma varinha e uma cartola, apresentando um truque de mágica para uma menina sentada no chão

a) Se Helena pensar nos números 4 e 9, que número ela vai dizer ao matemágico?

b) Se Helena disser 21, em quais números ela pensou?

c) Explique por que Helena sempre irá dizer um número ímpar.

d) Explique por que, se Helena disser 15, o matemágico ficará em dúvida sobre quais seriam os números em que ela pensou.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Como 4 + 9 = 13 e 9 - 4 = 5, Helena multiplicará 13 e 5 dirá ao mágico o número 65.

b) O número 21 pode ser escrito como produto de dois números naturais de duas maneiras. A primeira é 1 \times 21, e, neste caso, não temos dois números entre 1 e 9 cuja soma seja 21. A segunda é 3 \times 7. Se escolhermos 3 para a soma, temos somente 1 e 2 como escolhas, e, nesse caso, a diferença é 1. Logo, 3 deverá ser a diferença dos números procurados e a soma desses números deve ser 7. Neste caso, as possibilidades para a soma 7 são as seguintes: 1 e 6, 2 e 5, 3 e 4; dentre essas possibilidades, 2 e 5 correspondem à diferença 3.

Portanto, Helena pensou nos números 2 e 5.

c) Pelas regras descritas pelo “matemágico”, Helena sempre deve pensar em um número par e um número ímpar. A soma ou a diferença dos dois números será, portanto, um número ímpar. O produto de dois números ímpares será um número ímpar, logo, Helena nunca dirá um número par.

d) Se Helena disser 15, as possibilidades para o produto da soma e da diferença dos números pensados serão 1 \times 15 ou 3 \times 5.

Na primeira possibilidade (1 \times 15) a soma dos números pensados deverá ser 15 e a diferença 1; para a soma ser 15, os números pensados podem ser 6 e 9 ou 7 e 8. Como 9 - 6 = 3 e 8 - 7 = 1, os números pensados por Helena são 7 e 8.

Na segunda possibilidade (3 \times 5) a soma dos números pensados deverá ser 5 e a diferença 3, os números podem ser 2 e 3 ou 1 e 4. Neste caso, como 3 - 2 = 1 e 4 - 1 = 3, os números pensados por Helena são 1 e 4.

Diante das duas possibilidades de resposta (7 e 8 ou 1 e 4), o “matemágico” não terá certeza sobre os números em que Helena pensou.

Outra solução (com rudimentos de álgebra): Sejam a e b os números pensados por Helena e suponhamos que a > b. O enunciado nos diz que (a + b) \cdot (a - b) = 15. Logo, a^2 - b^2 = 15, ou seja, a^2 = 15 + b^2. Como b é um elemento do conjunto \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}, as únicas maneiras de 15 + b^2 ser um quadrado perfeito ocorrem quando b = 1 ou b = 7. Logo, há duas possibilidades de resposta (a = 4 e b = 1 ou a = 8 e b = 7) e o “matemágico” não terá certeza sobre os números em que Helena pensou.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) A soma é 4+9=13 e a diferença entre o maior e o menor é 9-4=5. O resultado da multiplicação é:

13\times 5=65

Helena vai dizer 65.

b) Sejam a o maior número e b o menor. O resultado é (a+b)(a-b)=21. Então a+b e a-b são dois fatores de 21 (1, 3, 7 ou 21), e a+b é o maior deles.

a+b=21 e a-b=1: impossível, pois a+b\le 9+8=17.
a+b=7 e a-b=3: somando as duas equações, 2a=10, logo a=5 e b=2.

Conferindo: 5+2=7, 5-2=3 e 7\times 3=21. Os números 5 e 2 têm paridades diferentes, como pede o enunciado. Helena pensou em 2 e 5.

c) Um número par somado a um ímpar dá sempre um número ímpar. A diferença entre um par e um ímpar também é sempre ímpar. Logo, o resultado é o produto de dois números ímpares, que é sempre ímpar. Assim, Helena sempre dirá um número ímpar.

d) Como em (b), (a+b)(a-b)=15. Os fatores de 15 são 1, 3, 5 e 15. Há duas possibilidades:

a+b=15 e a-b=1: então 2a=16, a=8 e b=7. Conferindo: 15\times 1=15.
a+b=5 e a-b=3: então 2a=8, a=4 e b=1. Conferindo: 5\times 3=15.

Nos dois casos os números são 1 a 9, um par e um ímpar. Portanto, com o resultado 15, o matemágico não consegue saber se Helena pensou em 8 e 7 ou em 4 e 1. Ele fica em dúvida porque tanto 7 e 8 quanto 1 e 4 dão 15.

Assunto: Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 5 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2018

Fonte: OBMEP 2ª fase 2018 · Nível 1. Prova oficial ↗