PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 1 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2018
Joãozinho comprou um álbum em que figurinhas numeradas devem ser coladas em ordem crescente, começando na página 2 e terminando na página 61. Nas páginas pares devem ser coladas 5 figurinhas e, nas ímpares, 6 figurinhas.
a) No total, quantas figurinhas devem ser coladas no álbum?
b) Em qual página deve ser colada a figurinha de número 196?
c) Para completar seu álbum, Joãozinho comprou muitos pacotes de figurinhas. Após colar a última figurinha que faltava, o número de figurinhas repetidas era oito vezes o número de figurinhas coladas.
Se o álbum custou 20 reais e cada pacote com 5 figurinhas custou 2 reais, quanto Joãozinho gastou para ter seu álbum completo?
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Resolução comentada
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a) As páginas vão de 2 a 61, ou seja, 61-2+1=60 páginas.
As páginas pares são 2,4,\dots,60, num total de 30 páginas. Elas recebem 30\cdot5=150 figurinhas.
As páginas ímpares são 3,5,\dots,61, também 30 páginas. Elas recebem 30\cdot6=180 figurinhas.
Total: 150+180=330.
330 figurinhas.
b) Cada par de páginas (2,3),(4,5),\dots recebe 5+6=11 figurinhas.
Como 196=11\cdot17+9, as 17 primeiras duplas de páginas, que vão da página 2 até a 35, recebem 17\cdot11=187 figurinhas, de 1 a 187.
Continuando a colagem:
- a página 36 (par) recebe as figurinhas de 188 a 192;
- a página 37 (ímpar) recebe as de 193 a 198.
A figurinha 196 está entre 193 e 198.
Página 37.
c) Foram coladas 330 figurinhas. As repetidas são 8\cdot330=2640.
O total de figurinhas compradas é 330+2640=2970.
O número de pacotes é 2970\div5=594. Eles custaram 594\cdot2=1188 reais.
Somando o álbum: 1188+20=1208.
R$ 1.208,00.
Assuntos: Sequências e padrões, Razão e proporção.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2018 · Nível 2. Prova oficial ↗