Questão 4 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2018

Question

Números naturais devem ser escritos dentro de cada círculo vazio da figura, de modo que a soma dos números escritos em três círculos alinhados e consecutivos seja sempre a mesma.

Triângulo formado por 21 círculos organizados em grade com 6 linhas: o círculo do topo é vermelho; na quarta linha, o primeiro círculo contém o número 3 e o terceiro contém o número 2; na sexta linha (base), o círculo da extremidade esquerda contém o número 2 e o da extremidade direita é azul; os demais círculos estão vazios.

a) Qual número deverá ser escrito no círculo vermelho?

b) Mostre que a soma de todos os números escritos é um múltiplo de 7.

c) Para que a soma de todos os números escritos seja 63, qual número deverá ser escrito no círculo azul?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2018

Nível 2 · Matemática: Sequências e padrões

Números naturais devem ser escritos dentro de cada círculo vazio da figura, de modo que a soma dos números escritos em três círculos alinhados e consecutivos seja sempre a mesma.

Triângulo formado por 21 círculos organizados em grade com 6 linhas: o círculo do topo é vermelho; na quarta linha, o primeiro círculo contém o número 3 e o terceiro contém o número 2; na sexta linha (base), o círculo da extremidade esquerda contém o número 2 e o da extremidade direita é azul; os demais círculos estão vazios.

a) Qual número deverá ser escrito no círculo vermelho?

b) Mostre que a soma de todos os números escritos é um múltiplo de 7.

c) Para que a soma de todos os números escritos seja 63, qual número deverá ser escrito no círculo azul?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) De acordo com o enunciado, a soma dos números escritos em três círculos alinhados e consecutivos é sempre a mesma. Assim, olhando para a figura abaixo, vemos que será escrito o mesmo número, que denotaremos por x, nos dois círculos entre os círculos em que estão escritos os números 2 e 3.

[Figura: Pirâmide triangular composta por 21 círculos distribuídos em 6 linhas. O círculo do topo é vermelho e o círculo no vértice inferior direito é azul. Na quarta linha aparecem os números 3, x e 2; na quinta linha, o primeiro círculo à esquerda contém x; na sexta linha, o primeiro círculo à esquerda contém 2.]

Além disso, se em dois de três círculos alinhados e consecutivos estiverem escritos os números 2, 3 ou x, sempre será possível saber o número que está escrito no terceiro círculo. Desta forma, é possível completar a escrita dos números em todos os círculos que estão alinhados com os círculos em que estão escritos 2, 3 e x, como abaixo:

[Figura: A mesma pirâmide com círculos adicionais preenchidos: na linha 1 (topo), o círculo vermelho contém 3; na linha 2, o círculo da esquerda contém x; na linha 3, o círculo da esquerda contém 2; na linha 4, a sequência contém 3, x, 2, 3; na linha 5, o círculo da esquerda contém x; na linha 6, o círculo da esquerda contém 2 e o da direita é azul.]

Logo, deverá ser escrito o número 3 no círculo vermelho. Isto responde o item a).

b) Seguindo o mesmo raciocínio do item anterior, “se em dois de três círculos alinhados e consecutivos estiverem escritos os números 2, 3 ou x, sempre será possível saber o número que está escrito no terceiro círculo”, podemos completar a escrita em todos os círculos da figura, como abaixo:

[Figura: Pirâmide com todos os 21 círculos totalmente preenchidos: linha 1 com 3 (vermelho); linha 2 com x, 2; linha 3 com 2, 3, x; linha 4 com 3, x, 2, 3; linha 5 com x, 2, 3, x, 2; linha 6 com 2, 3, x, 2, 3, x (azul).]

Logo, ao final, serão escritos sete números 2, sete números 3 e sete números x. Assim, a soma de todos os números escritos é um múltiplo de 7.

c) No preenchimento completo que fizemos acima, vemos que no círculo azul será escrito o número x e, para que a soma de todos os números escritos seja 63, o valor de x deve ser

\frac{63-7\times 2-7\times 3}{7} = \frac{63-14-21}{7} = \frac{28}{7} = 4.

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Resolução comentada

a)

Observe os quatro primeiros círculos da lateral esquerda, contando a partir do topo. Chame de r o número do círculo vermelho e de u e v os números dos dois círculos seguintes. O quarto círculo contém 3.

Os trios formados pelos três primeiros círculos e pelos três seguintes têm a mesma soma. Como os dois círculos centrais são comuns, temos

r+u+v=u+v+3.

Cancelando u+v dos dois lados, encontramos r=3.

O número do círculo vermelho é 3.

b)

Chame de x o número do círculo esquerdo da segunda linha. Comparando trios consecutivos na lateral esquerda, o terceiro círculo dessa lateral tem o mesmo número do último, isto é, 2. Assim, a soma comum dos trios é

S=3+x+2=x+5.

Usando essa soma nas horizontais e diagonais, completamos a figura abaixo. Por exemplo, a diagonal que passa pelo x da segunda linha e pelo 2 dado na quarta linha obriga o círculo entre eles a receber 3.

\begin{array}{c} 3\\ x\quad 2\\ 2\quad 3\quad x\\ 3\quad x\quad 2\quad 3\\ x\quad 2\quad 3\quad x\quad 2\\ 2\quad 3\quad x\quad 2\quad 3\quad x \end{array}

Nessa disposição, há sete posições com 3, sete com 2 e sete com x. Portanto, a soma total é

T=7\cdot3+7\cdot2+7x=7(x+5).

Como x é natural, x+5 é inteiro.

A soma de todos os números é 7(x+5) e, portanto, é múltipla de 7.

c)

Na disposição encontrada no item anterior, o círculo azul é um dos que recebem x. Além disso, a soma dos 21 números é 7(x+5). Para que essa soma seja 63, devemos ter

7(x+5)=63\quad\Rightarrow\quad x+5=9\quad\Rightarrow\quad x=4.

Podemos conferir: com esse valor, cada trio soma 9, e a figura contém sete números 3, sete números 2 e sete números 4. A soma total é, de fato,

7\cdot3+7\cdot2+7\cdot4=21+14+28=63.

O número do círculo azul deve ser 4.

Assuntos: Sequências e padrões, Divisibilidade, MMC e MDC.

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Questão 4 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2018

Fonte: OBMEP 2ª fase 2018 · Nível 2. Prova oficial ↗