Em uma caixa há 6 barbantes idênticos. Em cada etapa, duas extremidades de barbantes são escolhidas ao acaso e amarradas com um nó. O processo é repetido até que não haja mais extremidades livres.
a) Quantos nós são feitos até o final do processo?
b) Qual é a probabilidade de que, na primeira etapa, sejam amarradas as duas pontas de um mesmo barbante?
c) Qual é a probabilidade de que, na última etapa, sejam amarradas as duas pontas de um dos barbantes originais?
d) Qual é a probabilidade de que, ao final do processo, os barbantes estejam todos amarrados em um único laço?
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Resolução comentada
a) Cada nó usa 2 das extremidades livres. Como 6 barbantes têm 6\cdot 2=12 extremidades, e cada nó usa 2 delas, são feitos 12\div 2=6 nós.
6 nós.
b) Fixe uma das pontas escolhidas. A segunda ponta é uma das outras 11 extremidades, todas com a mesma chance. Só uma delas é a outra ponta do mesmo barbante.
P=\frac{1}{11}
1/11.
c) No fim do processo, os 6 nós formam um emparelhamento das 12 extremidades. Por simetria, as duas extremidades que sobram para o último nó são um par qualquer de extremidades, e todos os pares têm a mesma chance. Há \binom{12}{2}=66 pares possíveis. Desses, 6 são pares de pontas de um mesmo barbante original.
P=\frac{6}{66}=\frac{1}{11}
1/11.
d) Quando se amarram pontas de barbantes diferentes, o resultado é um fio mais comprido com 2 pontas livres, que se comporta como um barbante só. Assim, depois de cada nó "bom" resta um fio a menos. Se há k fios (com 2k pontas livres), a chance de amarrar as duas pontas do mesmo fio e fechar um laço é \frac{1}{2k-1}. A chance de não fechar é \frac{2k-2}{2k-1}.
Para terminar em um único laço, nenhum laço pode ser fechado antes do último nó. Quando resta 1 fio, o último nó fecha o laço com certeza. Então os passos com k=6,5,4,3,2 fios precisam evitar o laço:
