Questão 5 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2018

Question

A nova mania de Fábio é triangular polígonos, ou seja, decompor polígonos em triângulos desenhando diagonais que não se cruzam no interior do polígono. Fábio notou que há apenas duas maneiras de triangular um quadrilátero e cinco maneiras de triangular um pentágono, como nas figuras.

Duas maneiras de triangular um quadrilátero Cinco maneiras de triangular um pentágono

a) Fábio começou a triangular o hexágono abaixo com o triângulo azul. De quantas maneiras ele pode terminar de triangular esse hexágono?

Hexágono com um triângulo azul desenhado em seu interior

b) Fábio começou a triangular o hexágono abaixo com o triângulo vermelho. De quantas maneiras ele pode terminar de triangular esse hexágono?

Hexágono com um triângulo vermelho desenhado em seu interior

c) De quantas maneiras Fábio pode triangular um hexágono?

Hexágono

d) De quantas maneiras Fábio pode triangular um heptágono?

Heptágono

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2018

Nível 2 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

A nova mania de Fábio é triangular polígonos, ou seja, decompor polígonos em triângulos desenhando diagonais que não se cruzam no interior do polígono. Fábio notou que há apenas duas maneiras de triangular um quadrilátero e cinco maneiras de triangular um pentágono, como nas figuras.

Duas maneiras de triangular um quadrilátero Cinco maneiras de triangular um pentágono

a) Fábio começou a triangular o hexágono abaixo com o triângulo azul. De quantas maneiras ele pode terminar de triangular esse hexágono?

Hexágono com um triângulo azul desenhado em seu interior

b) Fábio começou a triangular o hexágono abaixo com o triângulo vermelho. De quantas maneiras ele pode terminar de triangular esse hexágono?

Hexágono com um triângulo vermelho desenhado em seu interior

c) De quantas maneiras Fábio pode triangular um hexágono?

Hexágono

d) De quantas maneiras Fábio pode triangular um heptágono?

Heptágono

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Há apenas duas triangulações do hexágono que contêm o triângulo azul; elas correspondem às duas triangulações do quadrilátero à direita desse triângulo:

[Figura: dois hexágonos contendo um triângulo azul à esquerda e as duas possíveis triangulações do quadrilátero restante indicadas por linhas tracejadas]

(Observe as duas triangulações de um quadrilátero presentes no enunciado)

b) Há cinco triangulações do hexágono que contêm o triângulo vermelho; elas correspondem às cinco triangulações do pentágono não pintado dentro do hexágono:

[Figura: cinco hexágonos contendo um triângulo vermelho na parte inferior esquerda e as cinco possíveis triangulações por linhas tracejadas do pentágono restante]

(Observe as cinco triangulações do pentágono presentes no enunciado)

c) O número total de triangulações do hexágono é 14. São as seguintes:

[Figura: quatorze hexágonos ilustrando todas as triangulações possíveis divididas em três linhas, contendo triângulos azuis ou vermelhos destacados e linhas tracejadas]

Essas triangulações correspondem, em cada caso, a triangular polígonos com um número menor de lados que o polígono original.

d) Raciocinando como foi feito acima, e usando um lado como base (nas figuras abaixo escolhemos o lado inferior horizontal), podemos fazer a contagem das triangulações do heptágono destacando triângulos que tenham um lado sobre esta base escolhida e vértice oposto a esta base coincidente com um dos cinco vértices superiores do heptágono. Isto permite organizar a contagem da seguinte maneira:

Contamos inicialmente as triangulações que contêm o triângulo destacado em vermelho:

[Figura: heptágono com o triângulo inferior esquerdo colorido em vermelho]

Elas correspondem às triangulações do hexágono, que, como vimos acima, são em número de 14.

Contamos, a seguir, as triangulações que contêm o triângulo destacado em azul:

[Figura: heptágono com triângulo azul apoiado na base inferior]

Elas correspondem às triangulações do pentágono e são em número de 5.

Contamos agora as triangulações que contêm o triângulo verde.

[Figura: heptágono com triângulo verde apoiado na base inferior voltado para o vértice superior central]

Neste caso as partes não pintadas do heptágono são dois quadriláteros e, portanto, existem 2 \times 2 = 4 triangulações que contêm o triângulo verde.

Contamos agora as triangulações que contêm o triângulo amarelo.

[Figura: heptágono com triângulo amarelo apoiado na base inferior voltado para o vértice superior direito]

Este caso é análogo ao caso 2. O número de triangulações que contêm esse triângulo é igual ao número de triangulações do pentágono, ou seja, 5.

Finalmente, consideramos o triângulo rosa.

[Figura: heptágono com o triângulo inferior direito colorido em rosa]

Este caso é análogo ao caso 1 e corresponde ao número de triangulações do hexágono, que é 14.

Assim , no total temos 14 + 5 + 4 + 5 + 14 = 42 triangulações diferentes para o heptágono.

O procedimento acima pode ser generalizado para contar as triangulações de qualquer polígono convexo com n lados. Ao selecionarmos um triângulo específico com vértices nos vértices do polígono, a figura original fica dividida em polígonos com um número menor de lados, o que garante que o número de triangulações pode ser obtido recursivamente. A título de curiosidade, se T_n denota o número de triangulações de um polígono com n lados, então: T_n = T_2 T_{n-1} + T_3 T_{n-2} + \dots + T_{n-1} T_2, n \ge 4, T_2 = T_3 = 1.

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Resolução comentada

Chame os vértices do hexágono de A, B, C, D, E, F, em sentido horário, a partir do vértice superior esquerdo. Cada triângulo já desenhado divide o hexágono em regiões menores, e é nelas que contamos as triangulações. Antes, vale saber que um triângulo tem 1 maneira de ser triangulado, um quadrilátero tem 2 e um pentágono tem 5.

a) O triângulo azul tem vértices A, E e D. Ele deixa duas regiões:

o triângulo AFE, à esquerda, que já é triângulo e tem 1 maneira;
o quadrilátero ABCD, que tem 2 maneiras.

As escolhas são independentes, então 1\times 2 = 2.

Resposta: 2 maneiras.

b) O triângulo vermelho tem vértices F, E e D. Dois de seus lados são lados do hexágono, e o terceiro, FD, é diagonal. Sobra o pentágono FDCBA, que tem 5 triangulações.

Resposta: 5 maneiras.

c) Numere os vértices de 1 a 6 e olhe para o lado 12. Em toda triangulação, esse lado pertence a exatamente um triângulo, de vértices 1, 2 e k, com k entre 3 e 6. Contamos cada caso:

k=3: sobra o pentágono 1,3,4,5,6, com 5 maneiras.
k=4: sobram o triângulo 2,3,4 (1 maneira) e o quadrilátero 1,4,5,6 (2 maneiras), num total de 1\times 2=2.
k=5: sobram o quadrilátero 2,3,4,5 (2 maneiras) e o triângulo 1,5,6 (1 maneira), num total de 2.
k=6: sobra o pentágono 2,3,4,5,6, com 5 maneiras.

Total: 5+2+2+5=14.

Resposta: 14 maneiras.

d) Usamos o mesmo raciocínio no heptágono, com vértices de 1 a 7 e o lado 12 no triângulo 1,2,k, com k de 3 a 7:

k=3: sobra o hexágono 1,3,4,5,6,7, com 14 maneiras.
k=4: sobram o triângulo (1 maneira) e o pentágono 1,4,5,6,7 (5 maneiras), num total de 5.
k=5: sobram o quadrilátero 2,3,4,5 e o quadrilátero 1,5,6,7, num total de 2\times 2=4.
k=6: sobram o pentágono 2,3,4,5,6 e o triângulo 1,6,7, num total de 5.
k=7: sobra o hexágono 2,3,4,5,6,7, com 14 maneiras.

Total: 14+5+4+5+14=42.

Resposta: 42 maneiras.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Questão 5 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2018

Fonte: OBMEP 2ª fase 2018 · Nível 2. Prova oficial ↗