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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2018

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Janaína tem três folhas de papel quadradas: uma verde de área 64\text{ cm}^2, uma amarela de área 36\text{ cm}^2 e uma azul de área 18\text{ cm}^2.

Três folhas de papel quadradas: uma verde, uma amarela e uma azul

a) Janaína colocou a folha amarela sobre a folha verde, e a folha azul sobre a folha amarela, como na figura abaixo. Dentre as regiões verde, amarela ou azul da figura, qual tem a maior área? Explique sua resposta.

Quadrados concêntricos sobrepostos: quadrado verde na base, amarelo no meio e azul no topo

b) Em seguida, Janaína colocou as folhas azul e amarela sobre a verde como na figura abaixo, determinando novas regiões coloridas. Qual é a soma das áreas das regiões verdes e amarela?

Folha amarela alinhada ao canto superior esquerdo e folha azul no canto inferior direito sobrepostas à folha verde

c) Finalmente Janaína colocou as folhas como na figura abaixo. Qual é a área da nova região amarela?

Folha amarela no canto superior esquerdo e folha azul rotacionada sobreposta, com vértices alinhados às bordas da folha verde a 3 cm do canto inferior direito

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) A folha azul tem 18\text{ cm}^2 de área. A folha amarela tem 36\text{ cm}^2 e, ao ser coberta pela folha azul, deixa visível uma região amarela, cuja área é 36 - 18 = 18\text{ cm}^2. A folha verde tem 64\text{ cm}^2 e, ao ser coberta pela folha amarela, deixa visível uma região verde, cuja área é 64 - 36 = 28\text{ cm}^2. Portanto, a região de maior área é a verde.

[Figura: Quadrado verde contendo uma borda amarela e um quadrado menor azul centralizado]

b) Ao ser colocada sobre a folha verde, a folha amarela esconde uma área verde igual à sua própria área. Portanto, a soma das áreas das regiões verde e amarela, sem a folha azul, é igual à área da folha verde. Quando a folha azul é colocada sobre essas duas folhas, ela esconde uma área formada pelas regiões verde e amarela igual à sua própria área. Portanto, a soma das áreas verde e amarela, não escondidas pela folha azul, é igual a 64 - 18 = 46\text{ cm}^2.

[Figura: Folhas verde, amarela e azul parcialmente sobrepostas]

c) Como a folha verde tem área igual a 64\text{ cm}^2, seus lados medem 8\text{ cm}, pois 8 \times 8 = 64. A folha amarela tem 36\text{ cm}^2, logo seus lados medem 6\text{ cm}, já que 6 \times 6 = 36. Assim, na figura, vemos que a distância entre os lados inferiores (e também entre as laterais do lado direito) dessas duas folhas é 8 - 6 = 2\text{ cm}. Como a distância do vértice da folha azul ao vértice inferior esquerdo da folha verde é de 3\text{ cm}, a distância entre a diagonal vertical da folha azul e o lado direito da folha amarela é 3 - 2 = 1\text{ cm}, conforme figura abaixo.

[Figura: Folha azul girada a 45 graus sobre as folhas verde e amarela com cotas indicando 3 cm]

[Figura: Decomposição geométrica da área azul com linhas tracejadas e marcações de medidas 1, 2 e 3]

O mesmo ocorre com a diagonal horizontal da folha azul e o lado inferior da folha amarela. Assim, a parte da folha azul que cobre a folha amarela, é um pentágono que pode ser decomposto em quatro pedaços: um quadrado 1 \times 1, dois trapézios iguais e um triângulo retângulo. A área do triângulo retângulo com dois lados de 3\text{ cm} é igual a 4{,}5\text{ cm}^2. Os dois trapézios azuis têm áreas iguais à área do triângulo retângulo menos a área de um triângulo retângulo com lados menores de 2\text{ cm}, ou seja, \frac{3 \times 3}{2} - \frac{2 \times 2}{2} = \frac{9}{2} - \frac{4}{2} = \frac{5}{2} = 2{,}5\text{ cm}^2. A área do quadrado é 1 \times 1 = 1\text{ cm}^2. Portanto, a área da parte da folha azul que cobre a folha amarela é igual a 4{,}5 + 2 \times 2{,}5 + 1 = 10{,}5\text{ cm}^2.

Consequentemente, a área da região amarela é igual a 36 - 10{,}5 = 25{,}5\text{ cm}^2.

Outra solução: Podemos quadricular a figura como feito ao lado e contar quantos quadradinho 1 \times 1 formam a região amarela (25 quadradinhos e meio).

[Figura: Malha quadriculada sobreposta à composição das três folhas]

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) A folha verde tem lado 8\ \text{cm}, a amarela 6\ \text{cm} e a azul \sqrt{18}=3\sqrt2\ \text{cm}. Como as folhas estão empilhadas, a parte visível de cada cor é:

azul: 18\ \text{cm}^2 (a folha inteira);
amarela: 36-18=18\ \text{cm}^2;
verde: 64-36=28\ \text{cm}^2.

A região verde tem a maior área. Verde, com 28\ \text{cm}^2.

b) A folha azul está inteiramente sobre a verde e por cima da amarela, então toda ela aparece. Assim, as regiões verde e amarela visíveis ocupam o que sobra do quadrado verde depois de tirar a azul. Não é preciso saber o tamanho da sobreposição entre azul e amarela.

64-18=46

Soma das áreas: 46\ \text{cm}^2.

c) Ponha a origem no canto inferior esquerdo da folha verde. A folha azul é um quadrado de lado 3\sqrt2, cuja diagonal mede \sqrt2\cdot 3\sqrt2=6. Seus vértices, em cm, são (5,0), (8,3), (5,6) e (2,3), com centro em (5,3). A região do losango é |x-5|+|y-3|\le 3.

A folha amarela é o quadrado 0\le x\le 6, 2\le y\le 8. A área amarela visível é 36 menos a parte do losango dentro desse quadrado. Essa parte é o losango sem as pontas que ficam em x>6 ou em y<2.

Ponta com x>6: triângulo de vértices (6,\cdot) e (8,3), com base 2 em x=6 e altura 2. Sua área é \frac{2\cdot 2}{2}\cdot 2=4. Pelo cálculo, a largura em x é 2(8-x) e \int_6^8 2(8-x)\,dx=4.
Ponta com y<2: a largura em y é 2y e \int_0^2 2y\,dy=4.
As duas pontas se sobrepõem na região x>6, y<2, dentro do losango. Ela é o triângulo com 1\le y\le 2 e 6\le x\le 5+y, de área \int_1^2 (y-1)\,dy=\frac12.

A parte retirada do losango mede 4+4-\frac12=7{,}5. Logo, a parte do losango sobre o amarelo mede 18-7{,}5=10{,}5.

36-10{,}5=25{,}5

Área da região amarela: 25{,}5\ \text{cm}^2.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Potenciação e radiciação.

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Questão 3 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2018

Fonte: OBMEP 2ª fase 2018 · Nível 2. Prova oficial ↗