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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2017

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Um objeto foi construído com doze varetas iguais e seis bolinhas numeradas com 1, 2, 3, 5, 7 e 11, como na figura. Uma formiguinha caminha pelas varetas, passeando de bolinha em bolinha, a partir de uma bolinha inicial. Quando termina um passeio, ela multiplica todos os números das bolinhas que visitou e obtém um número para esse passeio. Por exemplo, ao final do passeio

3 \rightarrow 1 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 11 \rightarrow 1

ela obtém 3 \times 1 \times 3 \times 2 \times 3 \times 11 \times 1 = 594 .

Estrutura em forma de octaedro formada por 12 varetas ligando 6 bolinhas numeradas: no topo está a bolinha 1; na base inferior, a bolinha 2; no quadrado horizontal intermediário, as bolinhas 11 (à esquerda), 3 (à frente), 5 (ao fundo) e 7 (à direita).

a) Descreva um passeio no qual a formiguinha obtém, ao final, o número 45.

b) Explique por que a formiguinha nunca vai conseguir obter o número 52 ao final de um passeio.

c) Explique por que a formiguinha nunca vai conseguir obter o número 40 ao final de um passeio.

d) Quantos passeios diferentes a formiguinha pode fazer para obter, ao final, o número 30?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)
Existem vários passeios da formiguinha nos quais ela obtém o número 45. Ela deve necessariamente visitar duas vezes a bolinha com o número 3 e uma vez a bolinha com o número 5, em uma ordem correta. Eis alguns exemplos:

3 \to 1 \to 3 \to 1 \to 5
5 \to 1 \to 3 \to 1 \to 3
1 \to 3 \to 1 \to 5 \to 1 \to 3
1 \to 5 \to 1 \to 3 \to 1 \to 3
3 \to 1 \to 5 \to 1 \to 3
5 \to 1 \to 3 \to 1 \to 3 \to 1
1 \to 3 \to 1 \to 5 \to 1 \to 3 \to 1
1 \to 5 \to 1 \to 3 \to 1 \to 3 \to 1

b)
A fatoração do número 52 em produtos de números primos é 52 = 2 \times 2 \times 13. A formiguinha nunca vai conseguir obter o número 52 em um passeio pois, no objeto, não há uma bolinha com o número 13 para ela visitar.

c)
A fatoração do número 40 em produtos de números primos é 40 = 2 \times 2 \times 2 \times 5. Assim, para obter o número 40 em um passeio, a formiguinha deve passar somente pelas bolinhas 1, 2 e 5, passando exatamente três vezes pela bolinha 2 e uma vez pela bolinha 5. Como não há vareta ligando as bolinhas 1 e 2, para passar três vezes pela bolinha 2 a formiguinha é obrigada a passar pelo menos três vezes pela vareta que liga as bolinhas 2 e 5 e, ao fazer isso, ela passa pelo menos duas vezes pela bolinha 5. Assim, é impossível para a formiguinha fazer um passeio passando somente pelas bolinhas 1, 2 e 5, passando exatamente três vezes pela bolinha 2 e uma vez pela bolinha 5.

d)
A fatoração do número 30 em produto de números primos é 30 = 2 \times 3 \times 5. Para obter o número 30 no final de um passeio, a formiguinha deve passar somente pelas bolinhas 1, 2, 3 e 5, passando uma única vez pelas bolinhas 2, 3 e 5. A formiguinha não pode passar mais de duas vezes pela bolinha 1, pois, se isso acontecesse, ela passaria mais de uma vez pelas bolinhas 3 ou 5. Assim, temos as seguintes situações:

obter 30 sem passar pela bolinha 1;
obter 30 passando somente uma vez pela bolinha 1;
obter 30 passando duas vezes pela bolinha 1;

Na primeira situação, a formiguinha tem duas possibilidades para iniciar seu passeio (bolinhas 3 ou 5) e, em cada uma delas, uma única direção a seguir. Temos, então, 2 \times 1 = 2 possibilidades. São as seguintes:

3 \to 2 \to 5
5 \to 2 \to 3

Na segunda situação, a formiguinha tem quatro possibilidades para iniciar seu passeio (bolinhas 1, 2, 3 ou 5) e, em cada uma delas, duas direções a seguir. Temos, então, 4 \times 2 = 8 possibilidades. São elas:

1 \to 3 \to 2 \to 5
1 \to 5 \to 2 \to 3
2 \to 3 \to 1 \to 5
2 \to 5 \to 1 \to 3
3 \to 1 \to 5 \to 2
3 \to 2 \to 5 \to 1
5 \to 1 \to 3 \to 2
5 \to 2 \to 3 \to 1

Na terceira situação, a formiguinha tem três possibilidades: iniciar e terminar na bolinha 1, iniciar na bolinha 1 e terminar na bolinha 2, ou iniciar na bolinha 2 e terminar na bolinha 1; em cada uma delas, ela tem duas direções a seguir. Temos, então, 3 \times 2 = 6 possibilidades. São as seguintes:

1 \to 3 \to 2 \to 5 \to 1
1 \to 5 \to 2 \to 3 \to 1
1 \to 3 \to 1 \to 5 \to 2
1 \to 5 \to 1 \to 3 \to 2
2 \to 3 \to 1 \to 5 \to 1
2 \to 5 \to 1 \to 3 \to 1

No total, temos 2 + 8 + 6 = 16 passeios diferentes em que a formiguinha obtém, ao final, o número 30.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Como a figura se organiza. Cada bolinha está ligada a todas as outras, exceto à oposta. Os pares opostos são 1 e 2, 3 e 5, 11 e 7. Assim, 1 liga-se a 3,5,7,11. A bolinha 2 liga-se a 3,5,7,11. A 3 liga-se a 1,2,7,11, e a 5 liga-se a 1,2,7,11.

a) Como 45=3\times3\times5, usamos duas vezes o 3, uma vez o 5 e quantos 1 quisermos. O 3 e o 5 não estão ligados, mas ambos se ligam ao 1. Um passeio é

3\to1\to5\to1\to3,

com produto 3\cdot1\cdot5\cdot1\cdot3=45.

Resposta: 3\to1\to5\to1\to3 (há outras possíveis).

b) Temos 52=2^2\cdot13. O produto de um passeio só tem como fatores primos os números das bolinhas: 2,3,5,7,11 (o 1 não conta). Como 13 é primo e não é nenhum desses números, nenhum produto é divisível por 13.

Resposta: o fator primo 13 não aparece em nenhuma bolinha.

c) Temos 40=2^3\cdot5. Para ter exatamente 2^3\cdot 5, o passeio só pode usar as bolinhas 1, 2 e 5, e deve passar três vezes pela bolinha 2 e uma única vez pela bolinha 5 (o 2 é a única bolinha par).

A formiguinha não pode ir de 2 para 2 diretamente, nem de 2 para 1, porque 2 só se liga a 3,5,7,11. Logo, entre duas passagens consecutivas pelo 2, o passeio sai do 2 e volta ao 2 por vizinhos do 2. Entre as bolinhas permitidas, o único vizinho é o 5. Então, entre cada par de passagens pelo 2 há pelo menos um 5.

Com três passagens pelo 2 há dois intervalos, portanto pelo menos dois 5, e o produto seria múltiplo de 2^3\cdot5^2=200. Isso é impossível para 40.

Resposta: seriam necessários pelo menos dois fatores 5, mas 40 tem apenas um.

d) Temos 30=2\cdot3\cdot5. O passeio passa exatamente uma vez por cada uma das bolinhas 2, 3 e 5 e pode passar pelo 1 várias vezes. Não pode usar 7 nem 11.

O 1 não pode aparecer duas vezes seguidas, pois não há varetas entre uma bolinha e ela mesma. Como só há três bolinhas diferentes de 1, cada 1 fica entre duas dessas bolinhas ou nas pontas do passeio. O 1 só pode ser colocado ao lado do 3 ou do 5, nunca ao lado do 2.

Analisamos a ordem em que aparecem 2,3,5. O 2 liga-se ao 3 e ao 5 diretamente. Já 3 e 5 só se conectam passando por um 1 no meio.

Ordem 2,3,5: o passeio é 2\,3\,1\,5, com 1 opcional no fim. Dá 2 passeios.
Ordem 5,3,2: o passeio é 5\,1\,3\,2, com 1 opcional no início. Dá 2 passeios.
Ordem 3,2,5: o 1 é opcional no início e opcional no fim. Dá 4 passeios.
Ordem 5,2,3: do mesmo modo, dá 4 passeios.
Ordem 2,5,3: o passeio é 2\,5\,1\,3, com 1 opcional no fim. Dá 2 passeios.
Ordem 3,5,2: o passeio é 3\,1\,5\,2, com 1 opcional no início. Dá 2 passeios.

Total: 2+2+4+4+2+2=16.

Resposta: 16 passeios.

Assuntos: Lógica e raciocínio lógico, Divisibilidade, MMC e MDC, Princípio fundamental da contagem.

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OBMEP 2ª fase 2017 · Questão 6 (Nível 1)d) Quantos passeios diferentes a formiguinha pode fazer para obter, ao final, o número 30?

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Questão 5 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2ª fase 2017 · Nível 2. Prova oficial ↗