Marcela brinca de cobrir todas as casas de tabuleiros quadriculados com peças retangulares e cada uma dessas peças cobre exatamente duas casas do tabuleiro.
a) A figura abaixo mostra uma maneira de cobrir um tabuleiro 2 \times 3 utilizando três peças. Desenhe as outras duas maneiras de cobrir com três peças o mesmo tabuleiro.
b) De quantas maneiras diferentes Marcela pode cobrir com quatro peças o tabuleiro abaixo?
c) De quantas maneiras diferentes Marcela pode cobrir com dez peças o tabuleiro abaixo?
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Resolução comentada
a) O tabuleiro 2\times 3 tem 2 linhas e 3 colunas. Olhe para a casa do canto inferior esquerdo. Ela é coberta por uma peça vertical ou por uma horizontal.
Se a peça for vertical, sobra um tabuleiro 2\times 2 à direita. Ele pode ser coberto de duas formas: duas peças verticais ou duas horizontais.
Se a peça for horizontal, a casa de cima, na mesma coluna, também precisa de uma peça horizontal. Sobra então uma coluna 2\times 1 à direita, coberta por uma peça vertical. Esta é a cobertura já dada.
As duas outras coberturas são:
Três peças verticais, uma em cada coluna.
Uma peça vertical na coluna da esquerda e duas horizontais empilhadas nas duas colunas da direita.
Resposta: as duas coberturas acima (três peças verticais; uma vertical à esquerda e duas horizontais à direita).
b) Numere as linhas de cima para baixo e as colunas da esquerda para a direita. O tabuleiro não tem a casa (linha 1, coluna 1). A casa (linha 2, coluna 1) só tem dois vizinhos: a casa de baixo e a casa à direita.
Peça vertical em (2,1)–(3,1): sobra um retângulo 3\times 2, nas colunas 2 e 3. Ele tem 3 coberturas, como no item (a) com o tabuleiro girado.
Peça horizontal em (2,1)–(2,2): a casa (3,1) só pode ser coberta pela peça horizontal (3,1)–(3,2). Sobram (1,2), (1,3), (2,3) e (3,3). A casa (1,2) só se une a (1,3), e então (2,3)–(3,3) fecha a cobertura. Há 1 maneira.
Total: 3+1=4.
Resposta: 4 maneiras.
c) O tabuleiro é um quadrado 6\times 6 sem os quatro cantos 2\times 2. Ele tem uma faixa vertical 6\times 2 no meio e dois blocos 2\times 2, um à esquerda e um à direita, nas linhas 3 e 4.
O bloco da esquerda tem 4 casas e se liga à faixa por duas posições. Seja k o número de peças horizontais que atravessam a fronteira com a faixa. Como o bloco tem número par de casas, k é par.
k=0: o bloco é coberto sozinho, de 2 maneiras.
k=2: as duas casas da coluna interna saem para a faixa, e as outras duas são cobertas por uma peça vertical. Há 1 maneira.
O bloco da direita funciona do mesmo jeito. Veja os casos:
Nenhum bloco entra na faixa: a faixa 6\times 2 é coberta de 13 maneiras (sequência 1,2,3,5,8,13). Total: 2\cdot 2\cdot 13=52.
Só o bloco da esquerda entra: ele ocupa duas casas da faixa e o bloco da direita tem 2 maneiras. Na faixa restam um bloco 2\times 2 em cima e outro embaixo, ligados pela coluna da direita. A casa (3,4) pode se unir à de baixo, (4,4), e os dois blocos têm 2\cdot 2=4 coberturas. Se ela se unir à de cima, sobra uma casa isolada. Total: 1\cdot 2\cdot 4=8.
Só o bloco da direita entra: por simetria, 8.
Os dois blocos entram: as linhas 3 e 4 da faixa ficam ocupadas. Sobram dois blocos 2\times 2 separados, com 2\cdot 2=4 coberturas. Total: 1\cdot1\cdot 4=4.
