PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 6 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2017
Um número inteiro n é chamado de bilegal se n é maior do que 1 e n^2 é igual à soma de n inteiros positivos consecutivos. Por exemplo, 3 é bilegal, pois 3^2 = 9 = \underbrace{2 + 3 + 4}_{\substack{\textit{3 inteiros} \\ \textit{consecutivos}}}.
a) Verifique que 5 é bilegal.
b) Verifique que 4 não é bilegal.
c) Explique por que nenhum número par é bilegal e todo número ímpar maior do que 1 é bilegal.
Lembrete:
A soma 1 + 2 + 3 + \cdots + (k - 1) é igual a \frac{k(k - 1)}{2}.
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Resolução comentada
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a) Para n=5 precisamos de 5 inteiros positivos consecutivos que somem 5^2=25. Basta tomar os números de 3 a 7:
Logo, 5 é bilegal. 5 é bilegal, pois 25=3+4+5+6+7.
b) Para n=4, temos 4^2=16. Se os quatro inteiros consecutivos começam em a, a soma é
Igualando a 16, temos 4a=10, ou seja, a=2{,}5, que não é inteiro. Outro modo de ver: 4a+6 deixa resto 2 na divisão por 4, enquanto 16 deixa resto 0. Então não existe tal sequência. 4 não é bilegal, pois a equação 4a+6=16 não tem solução inteira.
c) Seja a o primeiro dos n inteiros consecutivos. A soma é
usando o lembrete. Para n ser bilegal, precisamos de n^2=na+\frac{n(n-1)}{2}. Dividindo por n e multiplicando por 2:
Assim, n é bilegal se, e somente se, \frac{n+1}{2} for um inteiro positivo.
- Se n é par, n+1 é ímpar e \frac{n+1}{2} não é inteiro. Nenhum par é bilegal.
- Se n é ímpar e maior que 1, n+1 é par e a=\frac{n+1}{2} é inteiro. Como n\ge 3, a\ge 2>0. A sequência começa em a e tem n termos, todos positivos. Então n é bilegal.
Exemplos: n=3 dá a=2 (2+3+4=9), e n=5 dá a=3 (3+\cdots+7=25).
Para n par, a=\frac{n+1}{2} não é inteiro, então não é bilegal. Para n ímpar maior que 1, a=\frac{n+1}{2} é inteiro positivo, então é bilegal.
Assuntos: Divisibilidade, MMC e MDC, Progressão aritmética.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2017 · Nível 2. Prova oficial ↗