Correção FUVEST 2027 · 1ª faseAcompanhe a resolução de cada questão da 1ª fase, ao vivoAcompanhar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2017

Nível 1 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Um objeto foi construído com doze varetas iguais e seis bolinhas numeradas com 1, 2, 3, 5, 7 e 11, como na figura. Uma formiguinha caminha pelas varetas, passeando de bolinha em bolinha, a partir de uma bolinha inicial. Quando termina um passeio, ela multiplica todos os números das bolinhas que visitou e obtém um número para esse passeio. Por exemplo, ao final do passeio

3 \rightarrow 1 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 11 \rightarrow 1

ela obtém 3 \times 1 \times 3 \times 2 \times 3 \times 11 \times 1 = 594.

Objeto no formato de um octaedro regular composto por 12 varetas e 6 bolinhas numeradas: 1 no vértice superior, 2 no vértice inferior, e 11, 3, 7 e 5 formando o quadrado intermediário.

a) Descreva um passeio no qual a formiguinha obtém, ao final, o número 45.

b) Explique por que a formiguinha nunca vai conseguir obter o número 52 ao final de um passeio.

c) Explique por que a formiguinha nunca vai conseguir obter o número 40 ao final de um passeio.

d) Quantos passeios diferentes a formiguinha pode fazer para obter, ao final, o número 30?

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)
Existem vários passeios da formiguinha nos quais ela obtém o número 45. Ela deve necessariamente visitar duas vezes a bolinha com o número 3 e uma vez a bolinha com o número 5, em uma ordem correta. Eis alguns exemplos:

3 \rightarrow 1 \rightarrow 3 \rightarrow 1 \rightarrow 5
5 \rightarrow 1 \rightarrow 3 \rightarrow 1 \rightarrow 3
1 \rightarrow 3 \rightarrow 1 \rightarrow 5 \rightarrow 1 \rightarrow 3
1 \rightarrow 5 \rightarrow 1 \rightarrow 3 \rightarrow 1 \rightarrow 3
3 \rightarrow 1 \rightarrow 5 \rightarrow 1 \rightarrow 3
5 \rightarrow 1 \rightarrow 3 \rightarrow 1 \rightarrow 3 \rightarrow 1
1 \rightarrow 3 \rightarrow 1 \rightarrow 5 \rightarrow 1 \rightarrow 3 \rightarrow 1
1 \rightarrow 5 \rightarrow 1 \rightarrow 3 \rightarrow 1 \rightarrow 3 \rightarrow 1

b)
A fatoração do número 52 em produtos de números primos é 52 = 2 \times 2 \times 13. A formiguinha nunca vai conseguir obter o número 52 em um passeio pois, no objeto, não há uma bolinha com o número 13 para ela visitar.

c)
A fatoração do número 40 em produtos de números primos é 40 = 2 \times 2 \times 2 \times 5. Assim, para obter o número 40 em um passeio, a formiguinha deve passar somente pelas bolinhas 1, 2 e 5, passando exatamente três vezes pela bolinha 2 e uma vez pela bolinha 5. Como não há vareta ligando as bolinhas 1 e 2, para passar três vezes pela bolinha 2 a formiguinha é obrigada a passar pelo menos três vezes pela vareta que liga as bolinhas 2 e 5 e, ao fazer isso, ela passa pelo menos duas vezes pela bolinha 5. Assim, é impossível para a formiguinha fazer um passeio passando somente pelas bolinhas 1, 2 e 5, passando exatamente três vezes pela bolinha 2 e uma vez pela bolinha 5.

d)
A fatoração do número 30 em produto de números primos é 30 = 2 \times 3 \times 5. Para obter o número 30 no final de um passeio, a formiguinha deve passar somente pelas bolinhas 1, 2, 3 e 5, passando uma única vez pelas bolinhas 2, 3 e 5. A formiguinha não pode passar mais de duas vezes pela bolinha 1, pois, se isso acontecesse, ela passaria mais de uma vez pelas bolinhas 3 ou 5. Assim, temos as seguintes situações:

obter 30 sem passar pela bolinha 1;
obter 30 passando somente uma vez pela bolinha 1;
obter 30 passando duas vezes pela bolinha 1;

Na primeira situação, a formiguinha tem duas possibilidades para iniciar seu passeio (bolinhas 3 ou 5) e, em cada uma delas, uma única direção a seguir. Temos, então, 2 \times 1 = 2 possibilidades. São as seguintes:

3 \rightarrow 2 \rightarrow 5
5 \rightarrow 2 \rightarrow 3

Na segunda situação, a formiguinha tem quatro possibilidades para iniciar seu passeio (bolinhas 1, 2, 3 ou 5) e, em cada uma delas, duas direções a seguir. Temos, então, 4 \times 2 = 8 possibilidades. São elas:

1 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 5
1 \rightarrow 5 \rightarrow 2 \rightarrow 3
2 \rightarrow 3 \rightarrow 1 \rightarrow 5
2 \rightarrow 5 \rightarrow 1 \rightarrow 3
3 \rightarrow 1 \rightarrow 5 \rightarrow 2
3 \rightarrow 2 \rightarrow 5 \rightarrow 1
5 \rightarrow 1 \rightarrow 3 \rightarrow 2
5 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1

Na terceira situação, a formiguinha tem três possibilidades: iniciar e terminar na bolinha 1, iniciar na bolinha 1 e terminar na bolinha 2, ou iniciar na bolinha 2 e terminar na bolinha 1; em cada uma delas, ela tem duas direções a seguir. Temos, então, 3 \times 2 = 6 possibilidades. São as seguintes:

1 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 5 \rightarrow 1
1 \rightarrow 5 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1
1 \rightarrow 3 \rightarrow 1 \rightarrow 5 \rightarrow 2
1 \rightarrow 5 \rightarrow 1 \rightarrow 3 \rightarrow 2
2 \rightarrow 3 \rightarrow 1 \rightarrow 5 \rightarrow 1
2 \rightarrow 5 \rightarrow 1 \rightarrow 3 \rightarrow 1

No total, temos 2 + 8 + 6 = 16 passeios diferentes em que a formiguinha obtém, ao final, o número 30.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Na figura, cada bolinha está ligada a todas as outras, exceto à oposta. Os pares sem vareta são 1–2, 3–5 e 7–11. A formiguinha pode repetir bolinhas, e o número repetido entra de novo no produto.

a) Como 45 = 3\times 3\times 5, ela precisa passar duas vezes pelo 3 e uma vez pelo 5, usando o 1 (que não altera o produto) para ligar o 3 ao 5. Isso é necessário porque 3 e 5 não são vizinhos.

O passeio

3\rightarrow 1\rightarrow 3\rightarrow 1\rightarrow 5

usa só varetas existentes (3–1, 1–3, 3–1, 1–5) e dá 3\times1\times3\times1\times5=45.

Resposta: por exemplo, 3\to1\to3\to1\to5.

b) Fatorando, 52=2^2\times 13. Para o produto ser 52, o número 13 teria de aparecer na fatoração, ou seja, algum fator do produto teria de ser múltiplo de 13. Os números das bolinhas (1,2,3,5,7,11) não têm o fator primo 13, e o produto deles também não. Logo, o produto nunca será 52.

Resposta: nenhum número das bolinhas tem o fator 13, que aparece em 52=2^2\times13.

c) Fatorando, 40=2^3\times5. Os únicos fatores primos permitidos são 2 e 5, então só podem ser visitadas as bolinhas 1, 2 e 5. Além disso, o 2 deve aparecer exatamente 3 vezes e o 5 exatamente uma vez.

O 2 não é vizinho do 1. Entre as bolinhas permitidas, o 2 só se liga ao 5. Assim, depois de cada visita ao 2, exceto a última, a formiguinha vai obrigatoriamente ao 5. Com três visitas ao 2, o 5 aparece pelo menos duas vezes, e o produto seria pelo menos 2^3\times5^2=200 (por exemplo, 2\to5\to2\to5\to2). Isso contradiz o fato de o 5 aparecer só uma vez.

Resposta: com só 1,2,5, três visitas ao 2 exigem pelo menos dois 5, e então o produto é múltiplo de 2^3\times 5^2, não 40.

d) Como 30=2\times3\times5, o passeio usa 2, 3 e 5 exatamente uma vez cada, e o 1 quantas vezes for preciso. As bolinhas usadas são 1,2,3,5, e as varetas entre elas são 2–3, 2–5, 1–3 e 1–5.

Dividimos as bolinhas em dois grupos: A=\{1,2\} e B=\{3,5\}. Toda vareta liga um elemento de A a um de B, então o passeio alterna entre A e B. Há exatamente 2 visitas a B (o 3 e o 5), e as visitas a A são o 2 mais k vezes o 1. Para alternar, o número de visitas a A e a B deve diferir em no máximo 1, então k=0, 1 ou 2.

k=0: padrão B\,A\,B, que dá 3\,2\,5 ou 5\,2\,3: 2 passeios.
k=1: padrões ABAB ou BABA. Em cada um, há 2 ordens para \{1,2\} e 2 ordens para \{3,5\}, ou seja, 4 passeios por padrão: 8 passeios.
k=2: padrão A\,B\,A\,B\,A. O 2 pode ocupar 3 posições entre os A, e há 2 ordens para 3 e 5: 3\times2= 6 passeios.

Total: 2+8+6=16.

Resposta: 16 passeios.

Assuntos: Lógica e raciocínio lógico, Divisibilidade, MMC e MDC.

Reportar erro na resolução

Esta questão também caiu em

OBMEP 2ª fase 2017 · Questão 5 (Nível 2)d) Quantos passeios diferentes a formiguinha pode fazer para obter, ao final, o número 30?

Ver como caiu na prova

Questão 6 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2ª fase 2017 · Nível 1. Prova oficial ↗