Marcela brinca de cobrir todas as casas de tabuleiros quadriculados com peças retangulares e cada uma dessas peças cobre exatamente duas casas do tabuleiro.
a) A figura abaixo mostra uma maneira de cobrir um tabuleiro 2 \times 3 utilizando três peças. Desenhe as outras duas maneiras de cobrir com três peças o mesmo tabuleiro.
b) De quantas maneiras diferentes Marcela pode cobrir com quatro peças o tabuleiro abaixo?
c) De quantas maneiras diferentes Marcela pode cobrir com dez peças o tabuleiro abaixo?
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Resolução comentada
a) O tabuleiro 2\times 3 tem 6 casas, e cada peça cobre 2. Vamos olhar a primeira coluna, à esquerda.
Se a peça da casa de cima dessa coluna é vertical, a coluna fica coberta. Sobra um 2\times 2, que se cobre de 2 jeitos: duas peças horizontais ou duas verticais.
Se a peça é horizontal, a casa de baixo da coluna também precisa de uma horizontal. Sobra uma coluna, coberta por uma peça vertical. Essa é a cobertura da figura.
As duas coberturas que faltam são:
três peças verticais lado a lado;
uma peça vertical na coluna da esquerda e duas horizontais empilhadas nas duas colunas da direita.
Desenhe as duas coberturas descritas acima.
b) Numeramos as casas por (linha, coluna). A linha 1 tem as casas (1,2) e (1,3). As linhas 2 e 3 têm três casas cada. Olhe a casa (1,2): ela só tem como vizinhas a (1,3) e a (2,2).
Peça horizontal (1,2)–(1,3): sobra um retângulo 2\times 3, que tem 3 coberturas pelo item (a).
Peça vertical (1,2)–(2,2): a casa (1,3) só pode formar par com a (2,3). A casa (2,1) só pode formar par com a (3,1). Sobram (3,2) e (3,3), que formam uma peça horizontal. Há apenas 1 cobertura.
Total: 3+1=4.
4 maneiras.
c) A cruz é formada por 5 quadrados 2\times 2: um central e quatro "braços" (cima, baixo, esquerda, direita).
Tome um braço, por exemplo o de cima. Se uma peça ligar o braço ao centro, a outra casa da mesma linha do braço também precisa ligar. Isso acontece porque a casa de cima do braço fica sem outro par possível. Então só há duas situações:
o braço é coberto sozinho, de 2 maneiras (duas peças horizontais ou duas verticais);
o braço "entra" no centro, com 1 horizontal na ponta e 2 verticais, ocupando 2 casas do centro (1 maneira).
Contamos pelo número de braços que entram no centro:
Nenhum braço entra: os 4 braços têm 2^4=16 maneiras, e o centro 2\times 2 tem 2. Total 16\cdot 2=32.
Um braço entra: são 4 escolhas de braço. O centro tem 2 casas livres, cobertas por 1 peça. Os outros 3 braços dão 2^3=8. Total 4\cdot 8=32.
Dois braços entram: eles não podem se sobrepor, então são opostos (cima e baixo, ou esquerda e direita). São 2 escolhas, e os outros 2 braços dão 2^2=4. Total 2\cdot 4=8.
