Marcela brinca de cobrir todas as casas de tabuleiros quadriculados com peças retangulares e cada uma dessas peças cobre exatamente duas casas do tabuleiro.
a) A figura abaixo mostra uma maneira de cobrir um tabuleiro 2 \times 3 utilizando três peças. Desenhe as outras duas maneiras de cobrir com três peças o mesmo tabuleiro.
b) De quantas maneiras diferentes Marcela pode cobrir com quatro peças o tabuleiro abaixo?
c) De quantas maneiras diferentes Marcela pode cobrir com dez peças o tabuleiro abaixo?
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Resolução comentada
a) No tabuleiro 2\times 3 cada peça é um dominó. Olhe a primeira coluna:
Se a peça que cobre a casa do canto superior esquerdo for horizontal, a casa de baixo também precisa de uma peça horizontal. Sobra a terceira coluna, coberta por uma peça vertical. Esta é a figura do enunciado.
Se a peça do canto for vertical, ela cobre a coluna 1 inteira. O resto é um 2\times 2, que se cobre com duas peças horizontais ou com duas verticais.
As duas maneiras que faltam são:
Uma peça vertical na coluna 1 e duas peças horizontais nas colunas 2 e 3, uma em cada linha.
Três peças verticais, uma em cada coluna.
Desenhos pedidos: as duas coberturas acima.
b) O tabuleiro tem 8 casas e é um 3\times3 sem o canto superior esquerdo. Olhe a casa do meio da linha de cima, que tem só dois vizinhos: a casa à direita dela e a casa de baixo.
Peça horizontal nas duas casas de cima. Sobra um retângulo 2\times 3, que, pelo item (a), tem 3 coberturas.
Peça vertical nessa casa e na de baixo. A casa do canto superior direito só pode ser coberta com a casa abaixo dela (vertical). Sobram a casa da esquerda do meio, que só pode formar peça vertical com a casa abaixo dela, e as duas casas restantes da linha de baixo, que formam uma peça horizontal. Há 1 cobertura.
Total: 3+1=4.
Resposta do item b: 4 maneiras.
c) A cruz é formada por um quadrado central 2\times2 e quatro braços 2\times 2. Cada braço tem 4 casas.
Um braço só liga ao centro por duas casas. Pela paridade, o número de peças que atravessam a fronteira entre o braço e o centro é par, então só pode ser 0 ou 2.
0 peças atravessando: o braço é coberto sozinho, de 2 maneiras (duas peças horizontais ou duas verticais).
2 peças atravessando: elas ocupam 2 casas do centro. A parte restante do braço (2 casas) só pode ser coberta de 1 maneira.
Cada braço que "invade" o centro ocupa 2 casas dele (as de um lado). Dois braços vizinhos disputariam uma mesma casa, então só dois braços opostos podem invadir ao mesmo tempo. Vamos contar pelo número de braços que invadem o centro.
Nenhum braço invade: o centro é coberto sozinho de 2 maneiras e cada um dos 4 braços tem 2 maneiras. Total: 2\cdot 2^4=32.
Um braço invade (4 escolhas): as 2 casas do centro que sobram formam uma peça, em 1 maneira. Os outros 3 braços têm 2^3=8 maneiras. Total: 4\cdot 8=32.
Dois braços opostos invadem (2 escolhas): o centro fica todo ocupado e os outros 2 braços têm 2^2=4 maneiras. Total: 2\cdot 4=8.
