Questão 4 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2017

Resolução comentada

a)

Para determinar a marca, contamos apenas as posições dos cubinhos que encostam na mesa. Os cubinhos empilhados sobre eles não acrescentam quadradinhos à marca.

Lendo as fileiras da parte de trás para a frente da peça, encontramos, respectivamente, 5, 3, 2 e 1 quadradinhos. Precisamos conservar também as posições das lacunas entre eles.

No desenho abaixo, ■ indica um quadradinho marcado e □, um quadradinho sem marca:

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A marca é a região desenhada acima, formada por 5+3+2+1=11 quadradinhos.

b)

A marca já ocupa cinco quadradinhos numa direção e quatro na outra. Como só podemos acrescentar cubinhos, o menor quadrado que pode conter essa marca tem lado de cinco quadradinhos.

Não basta preencher as lacunas do retângulo de dimensões 5\times4: precisamos também acrescentar uma fileira para obter um quadrado.

O quadrado completo terá 5^2=25 posições de contato com a mesa. Como 11 já estão ocupadas, basta colocar um cubinho em cada posição que falta:

Janaína deve acrescentar, no mínimo, 14 cubinhos.

c)

Partimos novamente da peça do item a), sem os acréscimos do item b). Ela tem largura de cinco cubinhos, profundidade de quatro e altura de quatro. Portanto, o menor cubo que pode ser completado tem aresta de cinco cubinhos e contém:

Para contar os cubinhos já existentes, observamos que a peça inicial tinha cinco cubinhos encostados na mesa e mais dois na torre, totalizando sete. No item a), foram acrescentados dez, de modo que a peça passou a ter:

Assim, faltam:

Janaína teve que acrescentar 108 cubinhos.

Assuntos: Vistas, projeções e planificações, Prismas e paralelepípedos.

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