Questão 3 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2017

Question

O triângulo da figura ao lado é equilátero e seus lados medem 10 cm. Os pontos A, B e C, inicialmente nos vértices do triângulo, deslocam-se sobre seus lados, de um vértice a outro, com a mesma velocidade. Os pontos A e C deslocam-se no sentido horário, e o ponto B desloca-se no sentido anti-horário.

Triângulo equilátero com vértices nos quais os pontos A, B e C deslocam-se ao longo dos lados em uma distância x indicada por setas azuis.

Seja x a distância em centímetros percorrida pelos pontos A, B e C, no intervalo 0 \le x \le 10.

Seja f(x) a área do triângulo ABC quando x é tal que A, B e C formam um triângulo e f(x) = 0, caso contrário.

a) Calcule f(2).

Triângulo equilátero mostrando os pontos A, B e C deslocados por 2 cm, definindo um triângulo sombreado em azul de área f(2).

b) Para quais valores de x, 0 \le x \le 10, tem-se f(x) = 0?

c) Esboce o gráfico de f(x) para 0 \le x \le 10.

Sistema de eixos com o eixo vertical f(x) graduado com marcações de 5√3 a 30√3 e uma malha quadriculada pontilhada para o traçado do gráfico.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2017

Nível 3 · Matemática: Função quadrática

O triângulo da figura ao lado é equilátero e seus lados medem 10 cm. Os pontos A, B e C, inicialmente nos vértices do triângulo, deslocam-se sobre seus lados, de um vértice a outro, com a mesma velocidade. Os pontos A e C deslocam-se no sentido horário, e o ponto B desloca-se no sentido anti-horário.

Triângulo equilátero com vértices nos quais os pontos A, B e C deslocam-se ao longo dos lados em uma distância x indicada por setas azuis.

Seja x a distância em centímetros percorrida pelos pontos A, B e C, no intervalo 0 \le x \le 10.

Seja f(x) a área do triângulo ABC quando x é tal que A, B e C formam um triângulo e f(x) = 0, caso contrário.

a) Calcule f(2).

Triângulo equilátero mostrando os pontos A, B e C deslocados por 2 cm, definindo um triângulo sombreado em azul de área f(2).

b) Para quais valores de x, 0 \le x \le 10, tem-se f(x) = 0?

c) Esboce o gráfico de f(x) para 0 \le x \le 10.

Sistema de eixos com o eixo vertical f(x) graduado com marcações de 5√3 a 30√3 e uma malha quadriculada pontilhada para o traçado do gráfico.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Lembramos, para a resolução do problema, que a altura e a área de um triângulo equilátero cujo lado tem comprimento L são dadas, respectivamente, por:

H = \frac{L\sqrt{3}}{2} \text{ e } A = \frac{L^2\sqrt{3}}{4}

a)

Para calcular f(2), denominemos P, Q e R os vértices do triângulo equilátero, conforme a figura ao lado. Para calcular f(2) observamos que, quando os pontos A e B se deslocam 2\text{ cm} a partir dos vértices P e Q, respectivamente, fica determinado um novo triângulo equilátero ABR, pois os lados RA e RB medem 8\text{ cm} e o ângulo do vértice R é 60^\circ.

[Figura: Triângulo PQR com os pontos A e B deslocados 2 cm de P e Q, respectivamente, e o ponto C deslocado 2 cm de R, com a região sombreada ABC]

A área do triângulo ABC pode ser calculada como a diferença entre as áreas dos triângulos ABR e ACR; a área do triângulo ACR será obtida tomando o segmento RC como base para que a altura relativa a essa base coincida com a altura do triângulo equilátero ABR, a qual pode ser facilmente calculada.

Desta forma,

f(2) = \frac{8^2\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2} \frac{2.8\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}\text{ cm}^2

b)

Ao se deslocarem 5\text{ cm} a partir de seus pontos de origem, os pontos A e B estarão nos pontos médios dos lados PR e QR, respectivamente. Simultaneamente, o ponto C, ao se deslocar 5\text{ cm} a partir do vértice R, coincidirá com o ponto B no ponto médio de QR e, neste caso, não formarão um triângulo.

Ao se deslocarem 10\text{ cm}, os pontos A e B coincidirão com o vértice R e, novamente, A, B e C não formarão um triângulo.

Para todos os outros valores de x, os pontos A, B e C serão não colineares, portanto, vértices de um triângulo.

Logo, os valores de x para os quais f(x) = 0, para 0 \le x \le 10, são x = 5 e x = 10.

c)

Vamos encontrar as expressões de f(x) para 0 \le x < 5 e para 5 \le x \le 10.

Para os valores de x entre 0 e 5, podemos tomar PA = QB = RC = x (Figura ao lado) e usar a mesma estratégia do cálculo de f(2); para cada valor de x, o lado do triângulo equilátero ABR terá o comprimento 10 - x.

[Figura: Triângulo equilátero PQR com segmentos PA = QB = RC = x e o triângulo ABC destacado]

Portanto,

f(x) = \frac{(10-x)^2 \sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2} \frac{x.(10-x)\sqrt{3}}{2} = \frac{(10-x)(10-2x)\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}\,(10-x)(5-x)}{2}\text{ cm}^2,

para 0 \le x \le 5 .

Para os valores de x entre 5 e 10, como PA = QB = RC = x, o lado do triângulo equilátero ABR terá comprimento 10 - x. Escolhemos AB como base do triângulo ABC cuja área queremos calcular (figura ao lado). A medida do lado AB é, portanto, igual a 10 - x. Traçamos uma reta paralela à reta PQ, passando por C; ela determina sobre o lado PR o ponto S, como na figura ao lado. A altura h do triângulo ABC com relação ao lado AB é dada pela diferença das alturas dos triângulos equiláteros de lados SC e AB, ou seja,

[Figura: Triângulo PQR com os pontos A e B acima do ponto médio, o ponto C no segmento QR com RC = x, e o segmento tracejado SC paralelo a PQ]

h = \frac{x\sqrt{3}}{2} - \frac{(10 - x)\sqrt{3}}{2} = \frac{(2x - 10)\sqrt{3}}{2} = (x - 5)\sqrt{3}

Daí, f(x) = \frac{\sqrt{3}\,(10-x)(x-5)}{2} para 5 \le x \le 10.

Assim, a partir dos cálculos acima, o gráfico de f, para 0\le x \le 10, formado por trechos de parábolas, tem o seguinte aspecto:

[Figura: Gráfico de f(x) em função de x para 0 <= x <= 10, com trechos de parábolas decrescendo de 25 raiz de 3 em x = 0 até 0 em x = 5, e atingindo um máximo local entre 5 e 10 antes de retornar a 0 em x = 10]

Observação: A função f pode ser escrita utilizando-se a função módulo; neste caso, sua expressão é:

f(x) = |\ \frac{\sqrt{3}(10-x)(x-5)}{2}\ | \text{ para } 0 \le x \le 10.

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Resolução comentada

a) Com A em AC e B, C sobre o lado BC, os pontos B e C andam um em direção ao outro sobre BC. Depois de percorrer x, o ponto B está a x do vértice B e o ponto C está a x do vértice C, isto é, a 10-x do vértice B. A distância entre eles é |10-2x|.

O ponto A está sobre AC, a x do vértice A, portanto a 10-x do vértice C. Como o ângulo em C mede 60^\circ, a distância de A à reta BC é (10-x)\,\sen 60^\circ=\frac{(10-x)\sqrt3}{2}.

A área do triângulo ABC (base sobre BC, altura até A) é

f(x)=\frac12\cdot|10-2x|\cdot\frac{(10-x)\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{2}\,|5-x|\,(10-x).

Para x=2: base =|10-4|=6 e altura =\frac{8\sqrt3}{2}=4\sqrt3. Então f(2)=\frac12\cdot6\cdot4\sqrt3= 12\sqrt3\ \text{cm}^2.

b) Pela fórmula, f(x)=0 quando 5-x=0 ou 10-x=0.

Em x=5, os pontos B e C se encontram no ponto médio de BC e não há triângulo.
Em x=10, A chega ao vértice C, onde também está B, e não há triângulo.

Em x=0 o triângulo é o próprio triângulo grande, com área 25\sqrt3, e não é nulo.

Resposta: x=5 e x=10.

c) Há dois trechos.

Para 0\le x\le5: f(x)=\frac{\sqrt3}{2}(5-x)(10-x). É um arco de parábola decrescente, de f(0)=25\sqrt3 até f(5)=0. Alguns pontos: f(1)=18\sqrt3, f(2)=12\sqrt3, f(3)=7\sqrt3, f(4)=3\sqrt3.
Para 5\le x\le10: f(x)=\frac{\sqrt3}{2}(x-5)(10-x). É um arco de parábola com concavidade para baixo, que vai de 0 em x=5 a 0 em x=10. O máximo ocorre em x=7{,}5, com f(7{,}5)=\frac{25\sqrt3}{8}\approx3{,}1\sqrt3. Outros pontos: f(6)=2\sqrt3, f(7)=3\sqrt3, f(8)=3\sqrt3, f(9)=2\sqrt3.

O gráfico começa em (0,25\sqrt3) e desce suavemente até tocar o eixo em x=5. Depois sobe formando um pequeno arco, com pico em x=7{,}5 e altura aproximada de 3\sqrt3, e volta a zero em x=10.

Gráfico: arco decrescente de 25\sqrt3 a 0 em [0,5] e arco de parábola (\cap) de altura máxima \frac{25\sqrt3}{8} em x=7{,}5 em [5,10].

Assuntos: Função quadrática, Triângulos: congruência e pontos notáveis, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 3 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2ª fase 2017 · Nível 3. Prova oficial ↗