Questão 4 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2017

Question

Na figura ao lado, cada círculo branco está ligado a três círculos azuis, como indicado. Inicialmente todos os números de 1 a 10 devem ser distribuídos nos círculos azuis, em uma ordem qualquer. Em seguida, cada círculo branco deve ser preenchido com a soma dos três números nos círculos azuis ligados a ele.

Esquema circular com 10 círculos azuis concêntricos ligados a 10 círculos brancos externos, onde cada círculo branco se conecta a três círculos azuis consecutivos

a) Na figura abaixo é dada uma distribuição dos números de 1 a 10 nos círculos azuis. Um dos círculos brancos foi preenchido com o número 17, pois 17 = 1 + 10 + 6. Preencha os demais círculos brancos.

Esquema circular similar ao anterior, com os círculos azuis numerados em sentido horário a partir do topo: 10, 6, 2, 5, 9, 4, 3, 8, 7, 1; o círculo branco conectado a 1, 10 e 6 contém o número 17 e os outros 9 estão vazios

b) Explique por que não existe uma distribuição dos números de 1 a 10 nos círculos azuis de modo que nos círculos brancos só apareçam números menores do que 17.

c) Explique por que, independentemente da distribuição dos números de 1 a 10 nos círculos azuis, sempre existirão três círculos brancos tais que a soma de seus números é igual a 54.

d) Explique por que não existe uma distribuição dos números de 1 a 10 nos círculos azuis de modo que nos círculos brancos só apareçam números menores do que 18.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2017

Nível 3 · Matemática: Média aritmética e ponderada

Na figura ao lado, cada círculo branco está ligado a três círculos azuis, como indicado. Inicialmente todos os números de 1 a 10 devem ser distribuídos nos círculos azuis, em uma ordem qualquer. Em seguida, cada círculo branco deve ser preenchido com a soma dos três números nos círculos azuis ligados a ele.

Esquema circular com 10 círculos azuis concêntricos ligados a 10 círculos brancos externos, onde cada círculo branco se conecta a três círculos azuis consecutivos

a) Na figura abaixo é dada uma distribuição dos números de 1 a 10 nos círculos azuis. Um dos círculos brancos foi preenchido com o número 17, pois 17 = 1 + 10 + 6. Preencha os demais círculos brancos.

Esquema circular similar ao anterior, com os círculos azuis numerados em sentido horário a partir do topo: 10, 6, 2, 5, 9, 4, 3, 8, 7, 1; o círculo branco conectado a 1, 10 e 6 contém o número 17 e os outros 9 estão vazios

b) Explique por que não existe uma distribuição dos números de 1 a 10 nos círculos azuis de modo que nos círculos brancos só apareçam números menores do que 17.

c) Explique por que, independentemente da distribuição dos números de 1 a 10 nos círculos azuis, sempre existirão três círculos brancos tais que a soma de seus números é igual a 54.

d) Explique por que não existe uma distribuição dos números de 1 a 10 nos círculos azuis de modo que nos círculos brancos só apareçam números menores do que 18.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)
O preenchimento solicitado é o seguinte:

[Figura: Diagrama com dez círculos cinza internos conectados em anel, contendo no sentido horário a partir do topo os números 10, 6, 2, 5, 9, 4, 3, 8, 7 e 1, e dez círculos brancos externos, cada um conectado a três círculos internos vizinhos, contendo respectivamente os números 18, 13, 16, 18, 16, 15, 18, 16, 18 e 17.]

b)
Admita, por absurdo, que todos os números nos círculos brancos sejam menores do que 17, ou seja, que sejam todos iguais ou menores do que 16. Como são 10 círculos brancos, a soma de todos os números presentes nesses círculos deve ser no máximo 160. Entretanto, pelo método de preenchimento indicado no enunciado, essa soma deve ser igual a três vezes a soma dos números que aparecem nos círculos internos em cinza, ou seja, deve ser igual a

3 \times (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) = 165

Como 165 > 160, chegamos a uma contradição. Logo, não existe uma distribuição nos círculos internos de modo que nos círculos externos só apareçam números menores do que 17.

c)
Nos círculos internos devem estar escritos todos os números de 1 a 10, e sua soma é 55. Em uma dada distribuição dos números nos círculos internos, focamos nossa atenção no círculo em que o número 1 está escrito e, retirando-o momentaneamente, vemos que os demais nove círculos internos podem ser agrupados em três grupos de três círculos vizinhos, Grupo1, Grupo 2 e Grupo 3, como sugerido na figura abaixo:

[Figura: Diagrama circular com dez círculos internos e dez externos. O círculo interno superior contém o número 1. Os demais nove círculos internos estão agrupados em três conjuntos de três círculos adjacentes por curvas fechadas vermelhas identificadas como "Grupo 1", "Grupo 2" e "Grupo 3". Três setas vermelhas apontam para os círculos externos correspondentes a cada um dos grupos.]

Isto sempre pode ser feito, independentemente da posição ocupada pelo número 1. A soma dos números nos nove números nos círculos internos que não contêm o número 1 é, obviamente, 55 - 1 = 54.

Vejamos agora o que ocorre com os círculos externos que estão associados a cada um dos três grupos de círculos vizinhos que marcamos anteriormente (olhe para as três casas marcadas com as setas na figura acima). A soma dos números das casas marcadas com as setas é exatamente a soma de todos os números presentes nos três grupos de círculos internos que não contêm o 1, a qual é igual a 54. Logo, sempre existirão três círculos brancos tais que a soma de seus números é 54. Os três círculos marcados com setas satisfazem essa propriedade.

Outra solução:

Dada uma distribuição qualquer dos números de 1 a 10 nos círculos azuis, denominamos x_1 o número 1 e passamos a indicar os seguintes (caminhando em qualquer um dos dois sentidos na circunferência interna onde estão os círculos azuis) por x_2, x_3, \dots, x_{10}. Então os agrupamentos

\begin{gathered} x_2,\ x_3,\ x_4 \\ x_5,\ x_6,\ x_7 \\ x_8,\ x_9,\ x_{10} \end{gathered}

dão origem a círculos brancos nos quais aparecem as somas

\begin{aligned} x_2 + x_3 + x_4 &= s_1 \\ x_5 + x_6 + x_7 &= s_2 \\ x_8 + x_9 + x_{10} &= s_3 \end{aligned}

e a soma s_1 + s_2 + s_3 é igual a 2 + 3 + 4 + \dots + 10 = 54.

d)
Suponhamos, novamente por absurdo, que exista uma distribuição de números nos círculos internos de tal modo que nos círculos externos só apareçam números estritamente menores do que 18. Omitindo-se momentaneamente o número 1 nos círculos internos e agrupando os demais círculos internos em três grupos (Grupo 1, Grupo 2 e Grupo 3), como fizemos no item anterior, chegaremos à conclusão de que os números nos círculos externos associados a esses grupos (marcados com as setas) devem somar, no máximo, 3 \times 17 = 51; entretanto, vimos no item c) que esta soma deve ser igual a 54. Chegamos assim a uma contradição e, portanto, não existe uma distribuição de números nos círculos internos tal que nos círculos externos apareçam apenas números menores do que 18.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Lendo os círculos azuis no sentido horário a partir do topo, temos 10, 6, 2, 5, 9, 4, 3, 8, 7, 1. Cada círculo branco recebe a soma de três azuis consecutivos. O de 17 corresponde a 1+10+6. Seguindo no sentido horário a partir dele:

10+6+2=18
6+2+5=13
2+5+9=16
5+9+4=18
9+4+3=16
4+3+8=15
3+8+7=18
8+7+1=16
7+1+10=18

Confira: a soma dos dez brancos é 17+18+13+16+18+16+15+18+16+18=165, que é 3\cdot 55.

Os brancos, a partir do de 17 e no sentido horário, são 17, 18, 13, 16, 18, 16, 15, 18, 16, 18.

b) Cada número azul aparece em exatamente três círculos brancos. Logo, a soma dos dez brancos é sempre 3\cdot(1+2+\dots+10)=3\cdot 55=165.

Se todos os brancos fossem menores que 17, cada um seria no máximo 16, e a soma total seria no máximo 10\cdot 16=160<165. Isso é impossível.

Portanto, algum círculo branco é sempre pelo menos 17.

c) Os dez azuis estão em círculo. Retire o azul que contém o número 1. Os outros nove formam uma sequência de nove azuis consecutivos, com soma 55-1=54.

Divida essa sequência em três blocos de três consecutivos. Cada bloco corresponde a um círculo branco, e esses três brancos são distintos. Sua soma é a soma dos nove números, ou seja, 54.

Assim, sempre existem três brancos cuja soma é 54.

d) Suponha que todos os brancos sejam menores que 18, isto é, no máximo 17. Pelo item c), existem três brancos cuja soma é 54. Mas então essa soma seria no máximo 3\cdot 17=51<54, o que é uma contradição.

Logo, algum círculo branco é sempre pelo menos 18, e não há distribuição com todos menores que 18.

Assuntos: Média aritmética e ponderada, Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 4 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2ª fase 2017 · Nível 3. Prova oficial ↗