Questão 1 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2017

Question

Júlia faz o seguinte cálculo com números inteiros positivos: ela escolhe um número, eleva esse número ao cubo e subtrai desse cubo o próprio número. Veja na figura que o resultado do cálculo de Júlia com o número 2 é igual a 6.

Menina observando uma lousa preta na qual está escrito "2³ - 2 = 8 - 2 = 6".

a) Qual é o resultado do cálculo de Júlia com o número 3?

b) Qual é o número que deve ser escolhido por Júlia para que o resultado do cálculo seja 1320?

c) Explique por que, para qualquer número que Júlia escolher, o resultado final do cálculo será sempre um múltiplo de 6.

Answer 1

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Questão 1 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2017

Nível 3 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Júlia faz o seguinte cálculo com números inteiros positivos: ela escolhe um número, eleva esse número ao cubo e subtrai desse cubo o próprio número. Veja na figura que o resultado do cálculo de Júlia com o número 2 é igual a 6.

Menina observando uma lousa preta na qual está escrito "2³ - 2 = 8 - 2 = 6".

a) Qual é o resultado do cálculo de Júlia com o número 3?

b) Qual é o número que deve ser escolhido por Júlia para que o resultado do cálculo seja 1320?

c) Explique por que, para qualquer número que Júlia escolher, o resultado final do cálculo será sempre um múltiplo de 6.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)
O resultado de Júlia com o número 3 é 3^3 - 3 = 27 - 3 = 24.

b)
Utilizando as formas de fatoração, temos que

n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1) = 1320

Isto nos diz que o produto de três números consecutivos é 1320. Usando cálculos mentais, por aproximação, como 10^3 = 1000 e como a unidade do número 1320 é 0, testamos n = 11. Nesse caso, como 11 \times 10 \times 12 = 1320, concluímos que, de fato, n = 11 deve ter sido o número escolhido por Júlia para que ela tenha obtido 1320 como resultado. Observe que outro teste natural seria 14 \times 13 \times 15, que também tem unidade 0, mas é maior do que 1320.

c)
Para um número ser múltiplo de 6, ele deve ser múltiplo de 2 e de 3. Como vimos no item b), o resultado é o produto de três números inteiros positivos consecutivos. Como dentre os três números consecutivos pelo menos um deles é par, temos que o resultado é par. Para mostrar que o número encontrado é múltiplo de 3, basta verificar que um dos três números: n, (n - 1) ou (n + 1), é múltiplo de 3. Observe que:

se o resto da divisão de n - 1 por 3 for 1, então n + 1 será múltiplo de 3;
se o resto da divisão de n - 1 por 3 for 2, então n será múltiplo de 3;
se o resto da divisão de n - 1 por 3 for 0, então ele mesmo será múltiplo de 3.

Em qualquer um dos casos, o resultado de Júlia, isto é, n(n - 1)(n + 1), será sempre um múltiplo de 2 e de 3; portanto, um múltiplo de 6.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Basta repetir o cálculo da lousa com o número 3:

3^3 - 3 = 27 - 3 = 24

O resultado é 24.

b) Para um número n, o resultado é n^3 - n. Fatorando:

n^3 - n = n(n^2-1) = (n-1)\,n\,(n+1)

Ou seja, o resultado é o produto de três inteiros consecutivos. Precisamos de (n-1)\,n\,(n+1) = 1320.

Como 10^3 = 1000 e 11^3 = 1331, o valor n deve ficar perto de 11. Testando n = 11:

10 \cdot 11 \cdot 12 = 110 \cdot 12 = 1320

Compare com n=11 direto: 11^3 - 11 = 1331 - 11 = 1320. ✓

Como n^3-n cresce com n (para inteiros positivos), esse é o único valor.

O número escolhido deve ser 11.

c) Já vimos que n^3 - n = (n-1)\,n\,(n+1), o produto de três inteiros consecutivos.

Entre três inteiros consecutivos, pelo menos um é par, então o produto é múltiplo de 2.
Entre três inteiros consecutivos, exatamente um é múltiplo de 3 (os restos na divisão por 3 são 0, 1 e 2, em alguma ordem), então o produto é múltiplo de 3.

Como 2 e 3 são primos entre si, o produto é múltiplo de 2\cdot 3 = 6.

Logo, n^3-n=(n-1)n(n+1) é sempre múltiplo de 6, pois é produto de três inteiros consecutivos, entre os quais há um par e um múltiplo de 3.

Assuntos: Divisibilidade, MMC e MDC, Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração.

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OBMEP 2ª fase 2017 · Questão 3 (Nível 2)c) Explique por que, para qualquer número que Júlia escolher, o resultado final do cálculo será sempre um múltiplo de 6.

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