Questão 5 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2015

Question

A professora Isabel aplicou uma prova com 10 questões. Cada aluno recebeu nota 0,0 (zero), 0,5 (meio) ou 1,0 (um) em cada questão. O desempenho de cada aluno foi associado a um ponto de uma malha triangular, delimitada por um triângulo equilátero de altura 10, como na figura.

O ponto associado a um aluno é escolhido de forma que suas distâncias aos lados do triângulo sejam iguais às quantidades de questões em que o aluno obteve nota zero, meio ou um, respectivamente. Por exemplo, o aluno A tirou zero em 2 questões, meio em 3 questões e um em 5 questões, obtendo 6,5 na prova. O aluno B obteve 1,5 na prova, pois tirou meio em 3 questões e zero em 7 questões. O aluno C obteve 5,0 na prova, pois tirou meio nas 10 questões.

a) Qual foi a nota obtida na prova pelo aluno D?

Malha triangular equilátera idêntica à anterior com os lados "zero", "meio" e "um", contendo um ponto D assinalado sobre uma das intersecções da malha.

b) Quantos pontos da malha estão associados a alunos que tiram zero em exatamente quatro questões?

c) Assinale na malha abaixo os pontos associados a alunos que obtêm nota igual a 7,0 ou maior do que 7,0.

Malha triangular com os lados "zero" e "meio" rotulados, com círculos vazados em todas as intersecções para serem assinalados.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2015

Nível 1 · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

A professora Isabel aplicou uma prova com 10 questões. Cada aluno recebeu nota 0,0 (zero), 0,5 (meio) ou 1,0 (um) em cada questão. O desempenho de cada aluno foi associado a um ponto de uma malha triangular, delimitada por um triângulo equilátero de altura 10, como na figura.

O ponto associado a um aluno é escolhido de forma que suas distâncias aos lados do triângulo sejam iguais às quantidades de questões em que o aluno obteve nota zero, meio ou um, respectivamente. Por exemplo, o aluno A tirou zero em 2 questões, meio em 3 questões e um em 5 questões, obtendo 6,5 na prova. O aluno B obteve 1,5 na prova, pois tirou meio em 3 questões e zero em 7 questões. O aluno C obteve 5,0 na prova, pois tirou meio nas 10 questões.

a) Qual foi a nota obtida na prova pelo aluno D?

Malha triangular equilátera idêntica à anterior com os lados "zero", "meio" e "um", contendo um ponto D assinalado sobre uma das intersecções da malha.

b) Quantos pontos da malha estão associados a alunos que tiram zero em exatamente quatro questões?

c) Assinale na malha abaixo os pontos associados a alunos que obtêm nota igual a 7,0 ou maior do que 7,0.

Malha triangular com os lados "zero" e "meio" rotulados, com círculos vazados em todas as intersecções para serem assinalados.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

item a)

O aluno D obteve nota zero em 1 questão, nota meio em 5 questões e nota um em 4 questões. Sendo assim,a nota obtida pelo aluno D na prova foi 1 \times 0{,}0 + 5 \times 0{,}5 + 4 \times 1{,}0 = 6{,}5.

Item b)

Há sete possibilidades de um aluno tirar nota zero em 4 questões.

1{,}0 + 1{,}0 + 1{,}0 + 1{,}0 + 1{,}0 + 1{,}0 = 6 \times 1{,}0 + 0 \times 0{,}5 + 4 \times 0{,}0
1{,}0 + 1{,}0 + 1{,}0 + 1{,}0 + 1{,}0 + 0{,}5 = 5 \times 1{,}0 + 1 \times 0{,}5 + 4 \times 0{,}0
1{,}0 + 1{,}0 + 1{,}0 + 1{,}0 + 0{,}5 + 0{,}5 = 4 \times 1{,}0 + 2 \times 0{,}5 + 4 \times 0{,}0
1{,}0 + 1{,}0 + 1{,}0 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 = 3 \times 1{,}0 + 3 \times 0{,}5 + 4 \times 0{,}0
1{,}0 + 1{,}0 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 = 2 \times 1{,}0 + 4 \times 0{,}5 + 4 \times 0{,}0
1{,}0 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 = 1 \times 1{,}0 + 5 \times 0{,}5 + 4 \times 0{,}0
0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 = 0 \times 1{,}0 + 6 \times 0{,}5 + 4 \times 0{,}0

item c)

Há 16 possibilidades do aluno obter nota 7,0 ou maior do que 7,0, como está ilustrado na figura ao lado.

[Figura: malha triangular representando as pontuações e destacando as 16 possibilidades de notas maiores ou iguais a 7,0]

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Pela propriedade do triângulo equilátero (soma das distâncias de um ponto interno aos lados é igual à altura), cada ponto tem distâncias z, m e u aos lados "zero", "meio" e "um", com z+m+u=10. A nota é 0{,}5\,m+1\cdot u.

a) Na figura, D está na 4ª linha de baixo para cima da malha, ou seja, a 4 unidades da base: u=4. Essa linha começa num ponto sobre o lado "zero", e D é o segundo ponto dela, a 1 unidade desse lado: z=1. Então

m=10-4-1=5.

A nota é 5\cdot 0{,}5+4\cdot 1=2{,}5+4=6{,}5.

Resposta: 6,5.

b) Se o aluno tirou zero em exatamente 4 questões, então z=4 e m+u=6. Logo m pode valer 0,1,2,3,4,5,6 (e u=6-m). Cada par (m,u) dá um ponto distinto, sobre a reta paralela ao lado "zero" e a 4 unidades dele, então são 7 pontos.

Resposta: 7 pontos.

c) Como u=10-z-m, a nota é

0{,}5m+u=10-z-0{,}5m.

Impor nota \ge 7 dá z+\tfrac{m}{2}\le 3, isto é, 2z+m\le 6. Para cada valor de z:

z=0: m=0,\dots,6 (7 pontos).
z=1: m=0,\dots,4 (5 pontos).
z=2: m=0,1,2 (3 pontos).
z=3: m=0 (1 ponto).

São 16 pontos. Eles ficam perto do vértice superior, onde u=10. Contando as linhas da malha a partir do topo (a linha k tem k pontos), devem ser assinalados:

todos os pontos das 4 primeiras linhas (1, 2, 3 e 4 pontos);
na 5ª linha, os 3 pontos mais à esquerda (junto ao lado "zero");
na 6ª linha, os 2 pontos mais à esquerda;
na 7ª linha, apenas o ponto mais à esquerda, sobre o lado "zero" (nota 7,0).

Total: 1+2+3+4+3+2+1=16.

Resposta: os 16 pontos descritos acima.

Assunto: Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Questão 5 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2015

Fonte: OBMEP 2ª fase 2015 · Nível 1. Prova oficial ↗