PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 4 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2015
Juca listou todos os números que podem ser escritos, da esquerda para a direita, obedecendo às seguintes regras:
- não começar com zero;
- não repetir algarismos;
- acrescentar um novo algarismo somente se for múltiplo ou divisor do último algarismo escrito;
- continuar a escrita do número enquanto for possível acrescentar um novo algarismo.
Por exemplo, o número 2015 está na lista de Juca, pois ele é escrito começando com 2, que é diferente de 0, depois com 0, que é múltiplo de 2, depois com 1, que é divisor de 0, e seguido de 5, que é múltiplo de 1. A escrita termina com 5, pois este algarismo não é múltiplo nem divisor dos algarismos que ainda não foram escritos (3, 4, 6, 7, 8 e 9).
a) O número 1063 não está na lista de Juca, pois é possível acrescentar um último algarismo à direita do 3. Qual é esse algarismo?
b) Juca escreveu os números de sua lista em ordem crescente. Qual é o primeiro número que ele escreveu depois do 2015?
c) Qual é o menor número da lista de Juca?
d) Qual é o maior número da lista de Juca?
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) O último algarismo é 3 e os que ainda não foram usados são 2, 4, 5, 7, 8 e 9. Procuramos entre eles um múltiplo ou divisor de 3. Os divisores de 3 são 1 e 3, e ambos já foram usados. Entre os múltiplos de 3, só o 9 está disponível. Logo, o algarismo que pode ser acrescentado é o 9.
Resposta: 9.
b) Antes de tudo, uma observação: o 0 é múltiplo de qualquer algarismo e o 1 é divisor de qualquer algarismo. Por isso 0 e 1 se ligam a todos os outros, nos dois sentidos.
O 2015 termina em 5, e o 5 só se liga a 0 e 1, que já foram usados. Assim, o próximo número da lista, em ordem crescente, é o menor número maior que 2015 que também pertence à lista.
- O 2016 não é número da lista, pois depois do 6 ainda se pode escrever o 3, que é divisor de 6.
- O 2017 é número da lista: 2→0 (0 é múltiplo de 2), 0→1 (1 é divisor de 0), 1→7 (7 é múltiplo de 1). O 7 só se liga a 0 e 1, já usados, então a escrita termina.
Resposta: 2017.
c) Quanto menos algarismos, menor o número. Começamos pelo 1 e depois pelo 0, ficando com 10\ldots. Testamos o terceiro algarismo, do menor para o maior:
- 102: pode continuar com 4, 6 ou 8.
- 103: pode continuar com 6 ou 9.
- 104: pode continuar com 8.
- 105: o 5 só se liga a 0 e 1, que já foram usados, então a escrita termina.
Nenhum número com dois algarismos está na lista, porque 10 sempre pode ser continuado. Os números 100 e 101 repetem algarismo. Portanto, o menor número da lista é 105.
Resposta: 105.
d) O maior número possível usaria os 10 algarismos. Vamos construir um assim, escolhendo o maior algarismo possível em cada passo.
Ligações entre os algarismos de 2 a 9 (além de 0 e 1, que se ligam a todos):
- 2: 4, 6, 8
- 3: 6, 9
- 4: 2, 8
- 6: 2, 3
- 8: 2, 4
- 9: 3
- 5 e 7: nenhuma
Construindo o número:
- Começamos pelo 9. Depois do 9 podem vir 0, 1 ou 3, e escolhemos o 3.
- Depois do 3 vem o 6, que é o maior disponível (9 já foi usado).
- Depois do 6 vem o 2.
- Depois do 2 vem o 8.
- Depois do 8 vem o 4.
- Depois do 4 só restam 0 e 1; escolhemos o 1.
- Depois do 1 escolhemos o 7.
- Depois do 7 só serve o 0, e depois do 0 vem o 5.
Todos os algarismos foram usados, então a escrita termina. O número tem 10 algarismos, o máximo possível, e foi construído escolhendo sempre o maior algarismo possível em cada posição. É o maior número da lista.
Resposta: 9 362 841 705.
Assuntos: Divisibilidade, MMC e MDC, Lógica e raciocínio lógico.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2015 · Nível 1. Prova oficial ↗