Questão 2 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2015

Question

A professora Isabel aplicou uma prova com 10 questões. Cada aluno recebeu nota 0,0 (zero), 0,5 (meio) ou 1,0 (um) em cada questão. O desempenho de cada aluno foi associado a um ponto de uma malha triangular, delimitada por um triângulo equilátero de altura 10, como na figura.

O ponto associado a um aluno é escolhido de forma que suas distâncias aos lados do triângulo sejam iguais às quantidades de questões em que o aluno obteve nota zero, meio ou um, respectivamente. Por exemplo, o aluno A tirou zero em 2 questões, meio em 3 questões e um em 5 questões, obtendo 6,5 na prova. O aluno B obteve 1,5 na prova, pois tirou meio em 3 questões e zero em 7 questões. O aluno C obteve 5,0 na prova, pois tirou meio nas 10 questões.

a) Qual foi a nota obtida na prova pelo aluno D?

Malha triangular equilátera com lados identificados como "zero", "meio" e "um", contendo um ponto D assinalado na malha.

b) Quantos pontos da malha estão associados a alunos que tiram zero em exatamente quatro questões?

c) Assinale na malha abaixo os pontos associados a alunos que obtêm nota igual a 7,0 ou maior do que 7,0.

Malha triangular delimitada por triângulo equilátero com lados indicados por faixas azuis com os rótulos "zero" e "meio", com pequenos círculos vazios nas interseções para marcação.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2015

Nível 2 · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

A professora Isabel aplicou uma prova com 10 questões. Cada aluno recebeu nota 0,0 (zero), 0,5 (meio) ou 1,0 (um) em cada questão. O desempenho de cada aluno foi associado a um ponto de uma malha triangular, delimitada por um triângulo equilátero de altura 10, como na figura.

O ponto associado a um aluno é escolhido de forma que suas distâncias aos lados do triângulo sejam iguais às quantidades de questões em que o aluno obteve nota zero, meio ou um, respectivamente. Por exemplo, o aluno A tirou zero em 2 questões, meio em 3 questões e um em 5 questões, obtendo 6,5 na prova. O aluno B obteve 1,5 na prova, pois tirou meio em 3 questões e zero em 7 questões. O aluno C obteve 5,0 na prova, pois tirou meio nas 10 questões.

a) Qual foi a nota obtida na prova pelo aluno D?

Malha triangular equilátera com lados identificados como "zero", "meio" e "um", contendo um ponto D assinalado na malha.

b) Quantos pontos da malha estão associados a alunos que tiram zero em exatamente quatro questões?

c) Assinale na malha abaixo os pontos associados a alunos que obtêm nota igual a 7,0 ou maior do que 7,0.

Malha triangular delimitada por triângulo equilátero com lados indicados por faixas azuis com os rótulos "zero" e "meio", com pequenos círculos vazios nas interseções para marcação.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)

O aluno D obteve nota zero em 1 questão, nota meio em 5 questões e nota um em 4 questões. Sendo assim, a nota obtida pelo aluno D na prova foi 1 \times 0{,}0 + 5 \times 0{,}5 + 4 \times 1{,}0 = 6{,}5.

b)

Há sete possibilidades de um aluno tirar nota zero em 4 questões.

1{,}0 + 1{,}0 + 1{,}0 + 1{,}0 + 1{,}0 + 1{,}0 = 6 \times 1{,}0 + 0 \times 0{,}5 + 4 \times 0{,}0
1{,}0 + 1{,}0 + 1{,}0 + 1{,}0 + 1{,}0 + 0{,}5 = 5 \times 1{,}0 + 1 \times 0{,}5 + 4 \times 0{,}0
1{,}0 + 1{,}0 + 1{,}0 + 1{,}0 + 0{,}5 + 0{,}5 = 4 \times 1{,}0 + 2 \times 0{,}5 + 4 \times 0{,}0
1{,}0 + 1{,}0 + 1{,}0 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 = 3 \times 1{,}0 + 3 \times 0{,}5 + 4 \times 0{,}0
1{,}0 + 1{,}0 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 = 2 \times 1{,}0 + 4 \times 0{,}5 + 4 \times 0{,}0
1{,}0 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 = 1 \times 1{,}0 + 5 \times 0{,}5 + 4 \times 0{,}0
0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 = 0 \times 1{,}0 + 6 \times 0{,}5 + 4 \times 0{,}0

c)

Há 16 possibilidades do aluno obter nota 7,0 ou maior do que 7,0, como está ilustrado na figura ao lado.

[Figura: malha triangular representando as possibilidades de notas]

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) A distância do ponto D à base ("um") é 4 e a distância ao lado esquerdo ("zero") é 1. Isso sai da malha: D está na 4ª linha acima da base e a 1 passo do lado esquerdo.

Como as três distâncias somam 10 (a altura do triângulo), a distância ao lado "meio" é 10-4-1=5.

Logo, D tirou 1 questão com zero, 5 com meio e 4 com um. A nota é:

4\cdot 1{,}0+5\cdot 0{,}5+1\cdot 0=6{,}5

Nota de D: 6,5.

b) Os pontos com exatamente 4 zeros estão na reta paralela ao lado "zero" que fica a distância 4 dele.

Nesses pontos, \text{meio}+\text{um}=10-4=6. O número de questões com um pode ser 0,1,2,3,4,5 ou 6, e cada valor determina um único ponto. São 7 pontos, que são os vértices da malha sobre essa reta.

Resposta: 7 pontos.

c) Sejam z, m e u as quantidades de questões com zero, meio e um, com z+m+u=10. A nota é N=u+\tfrac{m}{2}.

Substituindo m=10-z-u:

N=u+\frac{10-z-u}{2}=5+\frac{u-z}{2}

Para N\ge 7 precisamos de \dfrac{u-z}{2}\ge 2, isto é, u\ge z+4. Com z+u\le 10, contamos os pontos para cada valor de z:

z=0: u=4,5,\dots,10, são 7 pontos (sobre o lado esquerdo, do vértice do topo até a distância 4 da base).
z=1: u=5,\dots,9, são 5 pontos.
z=2: u=6,7,8, são 3 pontos.
z=3: u=7, é 1 ponto.

Para z\ge 4 não há solução, pois exigiria u\ge 8 e z+u\ge 12>10.

Os pontos a assinalar formam um triângulo de 4 linhas no topo da malha, junto ao lado "zero". As linhas têm 1, 3, 5 e 7 pontos, a partir da linha com z=3 e u=7. Eles ficam à esquerda da reta de nota 7, que liga o ponto (z,m,u)=(0,6,4) ao ponto (3,0,7), incluindo os pontos dessa reta. Ao todo são 7+5+3+1=16 pontos.

Resposta: os 16 pontos com u-z\ge 4.

Assunto: Triângulos: congruência e pontos notáveis.

Reportar erro na resolução

Esta questão também caiu em

Ver como caiu na prova

Questão 2 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2015

Fonte: OBMEP 2ª fase 2015 · Nível 2. Prova oficial ↗