Apertando teclas de zero a nove de um cofre, Pedro cria uma senha de 11 algarismos.
a) Quantas são as senhas que começam com 20152015?
b) Quantas são as senhas que contêm todos os algarismos juntos e em ordem crescente, isto é, quantas são as senhas que contêm o bloco 0123456789?
c) Pedro quer criar uma senha de forma que, quando se exclui um de seus algarismos, restam os algarismos de 0 a 9 em ordem crescente. Por exemplo, 80123456789 e 01234456789 são senhas possíveis, mas 01324567890 não. Nessas condições, quantas senhas Pedro pode criar?
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Resolução comentada
a) Os 8 primeiros algarismos já estão fixados (20152015). Sobram 3 posições, e cada uma pode receber qualquer um dos 10 algarismos, de 0 a 9.
10\cdot 10\cdot 10 = 1000
1000 senhas.
b) A senha tem 11 algarismos e o bloco 0123456789 ocupa 10 posições seguidas. Então o bloco só pode começar na 1ª ou na 2ª posição:
bloco no início: 0123456789$x$, com x qualquer algarismo (10 possibilidades);
bloco no fim: $y$0123456789, com y qualquer algarismo (10 possibilidades).
Nenhuma senha é contada duas vezes. Se o bloco começasse tanto na 1ª quanto na 2ª posição, a 2ª posição seria 1 (pelo primeiro bloco) e 0 (pelo segundo), o que é impossível.
Total: 10+10=20.
20 senhas.
c) A senha é a sequência 0123456789 com um algarismo extra inserido em algum lugar. Há 11 lugares possíveis (antes do 0, entre dois algarismos consecutivos, depois do 9) e 10 algarismos para inserir, o que dá 11\cdot 10=110 tentativas. Algumas delas geram a mesma senha.
Inserir o algarismo d imediatamente antes ou imediatamente depois do d que já existe produz a mesma senha. Por exemplo, inserir 4 antes ou depois do 4 dá 01234456789. Assim, para cada d, dos 11 lugares só 10 resultados são distintos.
Senhas obtidas com algarismos extras diferentes nunca coincidem. Duas retiradas diferentes que dão a mesma sequência exigem que o algarismo extra esteja numa sequência de algarismos iguais. Como 0123456789 não tem repetidos, isso só acontece quando o extra é igual ao vizinho, e portanto é o mesmo d.
