Questão 1 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2015

Question

A professora Isabel aplicou uma prova com 10 questões. Cada aluno recebeu nota 0,0 (zero), 0,5 (meio) ou 1,0 (um) em cada questão. O desempenho de cada aluno foi associado a um ponto de uma malha triangular, delimitada por um triângulo equilátero de altura 10, como na figura.

O ponto associado a um aluno é escolhido de forma que suas distâncias aos lados do triângulo sejam iguais às quantidades de questões em que o aluno obteve nota zero, meio ou um, respectivamente. Por exemplo, o aluno A tirou zero em 2 questões, meio em 3 questões e um em 5 questões, obtendo 6,5 na prova. O aluno B obteve 1,5 na prova, pois tirou meio em 3 questões e zero em 7 questões. O aluno C obteve 5,0 na prova, pois tirou meio nas 10 questões.

Malha triangular com os pontos A, B e C e setas indicando distâncias aos lados associados a "zero", "meio" e "um"

a) Qual foi a nota obtida na prova pelo aluno D?

Malha triangular com a posição do aluno D indicada

b) Quantos pontos da malha estão associados a alunos que tiram zero em exatamente quatro questões?

c) Assinale na malha abaixo os pontos associados a alunos que obtêm nota igual a 7,0 ou maior do que 7,0.

Malha triangular para assinalar os pontos associados a nota igual ou maior a 7,0

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2015

Nível 3 · Matemática: Combinações e binômio de Newton

A professora Isabel aplicou uma prova com 10 questões. Cada aluno recebeu nota 0,0 (zero), 0,5 (meio) ou 1,0 (um) em cada questão. O desempenho de cada aluno foi associado a um ponto de uma malha triangular, delimitada por um triângulo equilátero de altura 10, como na figura.

O ponto associado a um aluno é escolhido de forma que suas distâncias aos lados do triângulo sejam iguais às quantidades de questões em que o aluno obteve nota zero, meio ou um, respectivamente. Por exemplo, o aluno A tirou zero em 2 questões, meio em 3 questões e um em 5 questões, obtendo 6,5 na prova. O aluno B obteve 1,5 na prova, pois tirou meio em 3 questões e zero em 7 questões. O aluno C obteve 5,0 na prova, pois tirou meio nas 10 questões.

Malha triangular com os pontos A, B e C e setas indicando distâncias aos lados associados a "zero", "meio" e "um"

a) Qual foi a nota obtida na prova pelo aluno D?

Malha triangular com a posição do aluno D indicada

b) Quantos pontos da malha estão associados a alunos que tiram zero em exatamente quatro questões?

c) Assinale na malha abaixo os pontos associados a alunos que obtêm nota igual a 7,0 ou maior do que 7,0.

Malha triangular para assinalar os pontos associados a nota igual ou maior a 7,0

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)
O aluno D obteve nota zero em 1 questão, nota meio em 5 questões e nota um em 4 questões. Sendo assim, a nota obtida pelo aluno D na prova foi 1 \times 0{,}0 + 5 \times 0{,}5 + 4 \times 1{,}0 = 6{,}5.

b)
Há sete possibilidades de um aluno tirar nota zero em 4 questões.

1{,}0 + 1{,}0 + 1{,}0 + 1{,}0 + 1{,}0 + 1{,}0 = 6 \times 1{,}0 + 0 \times 0{,}5 + 4 \times 0{,}0
1{,}0 + 1{,}0 + 1{,}0 + 1{,}0 + 1{,}0 + 0{,}5 = 5 \times 1{,}0 + 1 \times 0{,}5 + 4 \times 0{,}0
1{,}0 + 1{,}0 + 1{,}0 + 1{,}0 + 0{,}5 + 0{,}5 = 4 \times 1{,}0 + 2 \times 0{,}5 + 4 \times 0{,}0
1{,}0 + 1{,}0 + 1{,}0 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 = 3 \times 1{,}0 + 3 \times 0{,}5 + 4 \times 0{,}0
1{,}0 + 1{,}0 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 = 2 \times 1{,}0 + 4 \times 0{,}5 + 4 \times 0{,}0
1{,}0 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 = 1 \times 1{,}0 + 5 \times 0{,}5 + 4 \times 0{,}0
0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 = 0 \times 1{,}0 + 6 \times 0{,}5 + 4 \times 0{,}0

[Figura: Diagrama triangular com grade, indicando nas laterais as notas "zero", "meio" e "um". Sete pontos pretos estão marcados ao longo de uma linha paralela ao lado "zero", representando as opções com 4 notas zero.]

c)
Há 16 possibilidades do aluno obter nota 7,0 ou maior do que 7,0, como está ilustrado na figura ao lado.

[Figura: Diagrama triangular com grade dividido por uma reta transversal com setas nas pontas. Acima da reta estão destacados 16 pontos pretos distribuídos em camadas triangulares na parte superior, correspondendo às notas maiores ou iguais a 7,0.]

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Em qualquer ponto do triângulo, a soma das distâncias aos três lados é a altura (teorema de Viviani). Então z+m+u=10, em que z, m e u são as quantidades de questões com nota zero, meio e um. A nota é 0{,}5\,m+u.

Na figura, D está a 4 linhas acima da base, então u=4. Na linha dele, D é o segundo ponto a partir do lado "zero", logo z=1. Assim:

m=10-4-1=5

A nota é 0{,}5\cdot 5+4=2{,}5+4=6{,}5.

Nota de D: 6,5.

b) Os pontos com z=4 ficam sobre a reta paralela ao lado "zero" e a 4 unidades dele. Neles, m+u=6, com m=0,1,2,\dots,6 e u=6-m. Cada valor de m dá um ponto da malha, o que dá 7 pontos.

7 pontos.

c) Como m=10-z-u, a nota é

\frac{m+2u}{2}=\frac{10-z+u}{2}.

A condição nota \ge 7 fica 10-z+u\ge 14, ou seja, u\ge z+4.

Vamos listar linha por linha, com u a distância à base. Em cada linha, z vai de 0 a 10-u, e a condição é z\le u-4:

u=10: 1 ponto, o vértice de cima.
u=9: os 2 pontos da linha.
u=8: os 3 pontos da linha.
u=7: os 4 pontos da linha.
u=6: z\le 2, os 3 primeiros pontos da esquerda (a linha tem 5).
u=5: z\le 1, os 2 primeiros pontos da esquerda (a linha tem 6).
u=4: z=0, só o ponto mais à esquerda (a linha tem 7).

Na malha, assinale as 4 linhas de cima por inteiro (10 pontos). Depois assinale, nas três linhas seguintes, os 3, 2 e 1 pontos mais próximos do lado "zero". O total é 1+2+3+4+3+2+1=16 pontos, formando uma região de borda inclinada junto ao lado "zero".

Confira os extremos: (z,m,u)=(3,0,7) dá nota 7, e (2,2,6) dá 1+6=7.

São 16 pontos: as 4 linhas superiores completas e, nas linhas u=6,5,4, os 3, 2 e 1 pontos mais à esquerda.

Assunto: Combinações e binômio de Newton.

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Fonte: OBMEP 2ª fase 2015 · Nível 3. Prova oficial ↗