Questão 3 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2015

Question

Lucinha tem três folhas retangulares iguais, cujos lados medem 20 cm e 30 cm.

Retângulo amarelo com altura indicada de 20 cm e largura indicada de 30 cm.

a) Lucinha fez dois traços retos na primeira folha, um a 4 cm da margem esquerda e outro a 7 cm da margem superior, dividindo-a em quatro retângulos. Um desses retângulos tem a maior área. Qual é o valor dessa área?

Retângulo dividido por uma linha vertical a 4 cm da margem esquerda e uma linha horizontal a 7 cm da margem superior, formando quatro retângulos menores.

b) Ajude Lucinha a dividir a segunda folha em quadrados iguais, desenhando traços paralelos às margens, de modo que esses quadrados tenham a maior área possível.

Retângulo amarelo idêntico à folha original, sem divisões.

c) Lucinha pegou a terceira folha, amarela na frente e verde no verso, e fez duas dobras: a primeira a 8 cm da margem esquerda e a segunda a uma certa distância da margem inferior, de forma que o perímetro da região não coberta da folha (contorno da região amarela da última figura) fosse de 54 cm. Qual é a distância da segunda dobra à margem inferior?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2015

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Lucinha tem três folhas retangulares iguais, cujos lados medem 20 cm e 30 cm.

Retângulo amarelo com altura indicada de 20 cm e largura indicada de 30 cm.

a) Lucinha fez dois traços retos na primeira folha, um a 4 cm da margem esquerda e outro a 7 cm da margem superior, dividindo-a em quatro retângulos. Um desses retângulos tem a maior área. Qual é o valor dessa área?

Retângulo dividido por uma linha vertical a 4 cm da margem esquerda e uma linha horizontal a 7 cm da margem superior, formando quatro retângulos menores.

b) Ajude Lucinha a dividir a segunda folha em quadrados iguais, desenhando traços paralelos às margens, de modo que esses quadrados tenham a maior área possível.

Retângulo amarelo idêntico à folha original, sem divisões.

c) Lucinha pegou a terceira folha, amarela na frente e verde no verso, e fez duas dobras: a primeira a 8 cm da margem esquerda e a segunda a uma certa distância da margem inferior, de forma que o perímetro da região não coberta da folha (contorno da região amarela da última figura) fosse de 54 cm. Qual é a distância da segunda dobra à margem inferior?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)

O maior dos quatro retângulos tem lados de medida 30 - 4 = 26\text{ cm} e 20 - 7 = 13\text{ cm}.

Logo, sua área é 26 \times 13 = 338\text{ cm}^2.

[Figura: Retângulo dividido por uma linha vertical e uma horizontal em quatro retângulos menores. O retângulo superior esquerdo tem indicação de largura de 4 cm e altura de 7 cm. O retângulo inferior direito, destacado em amarelo, tem indicação de largura de 26 cm e altura de 13 cm.]

b)

[Figura: Retângulo amarelo dividido por uma linha horizontal e duas verticais em uma malha de duas linhas e três colunas de quadrados iguais.]

Com um traço horizontal e dois verticais geramos os quadrados de maior área possível. Para formar apenas quadrados, o valor do lados desses quadrados deve dividir 20 e 30. A maior área ocorre, então, quando o lado desses quadrados for o máximo divisor comum de 20 e 30, ou seja, 10 cm.

c)

[Figura: Três etapas de dobras de uma folha retangular. Na primeira etapa, a folha amarela tem uma linha vertical tracejada a 8 cm da margem esquerda. Uma seta aponta para a segunda etapa, onde a faixa vertical de 8 cm à esquerda está dobrada em verde sobre a folha, e há uma linha horizontal tracejada próxima à margem inferior com uma seta vertical e ponto de interrogação. Uma seta aponta para a terceira etapa, onde a faixa inferior também foi dobrada para cima em verde, restando uma região amarela com largura indicada de 14 cm e altura de 13 cm.]

Vamos chamar a distância da segunda dobra até a margem inferior da folha de altura da dobra.

Como a folha tem 30 cm de largura e a primeira dobra foi feita a 8 cm da margem direita da folha, a largura da região em amarelo da última figura é igual a 30 cm menos duas vezes 8 cm, ou seja, 30 - 16 = 14\text{ cm}.

Após a segunda dobra, o dobro da altura do retângulo amarelo será a diferença entre seu perímetro e o dobro de sua largura, ou seja, 54 - 28 = 26\text{ cm}. Portanto, a altura do retângulo amarelo na terceira figura é 13 cm. Assim, da altura da folha original sobraram 20 - 13 = 7\text{ cm} para a realização da segunda dobra e, portanto, a altura da dobra é a metade, ou seja, 7 \div 2 = 3{,}5\text{ cm}.

Outra solução.

Como a folha tem 30 cm de largura e a primeira dobra foi feita a 8 cm da margem direita da folha, a largura da região em amarelo da última figura é igual a 30 cm menos duas vezes 8 cm, ou seja, 30 - 16 = 14\text{ cm}.

De forma análoga, como a folha tem 20 cm de altura, a altura da região em amarelo da última figura é igual 20 cm menos duas vezes a altura da dobra.

O perímetro da região em amarelo da última figura é igual a 54 cm, e seu semiperímetro (metade do perímetro) é 27 cm.

O semiperimetro de uma região retângular é a soma da largura e da altura dessa região. Assim, 14 cm mais 20 cm menos duas vezes a altura da dobra tem que ser igual a 27 cm.

14 + 20 - 2 \times (\text{altura da dobra}) = 27\text{ cm}

Logo 27 cm mais duas vezes a altura da dobra é igual a 34 cm,

27 + 2 \times (\text{altura da dobra}) = 34\text{ cm}

e a altura da dobra é igual à metade da diferença 34 - 27 = 7\text{ cm}, ou seja, metade de 7 cm. Logo, \text{altura da dobra} = (34 - 27) \div 2 = 3{,}5\text{ cm}.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Os dois traços dividem a largura de 30 cm em 4 cm e 26 cm, e a altura de 20 cm em 7 cm e 13 cm. O maior retângulo é o que une as maiores medidas, 26 cm e 13 cm, que fica no canto inferior direito.

A = 26 \times 13 = 338\ \text{cm}^2

Área máxima: 338\ \text{cm}^2.

b) O lado do quadrado precisa caber um número inteiro de vezes em 20 cm e em 30 cm. Logo, ele é um divisor comum de 20 e 30. O maior lado possível é o \text{mdc}(20,30)=10 cm, o que também dá a maior área, 100\ \text{cm}^2.

Traçam-se dois traços verticais, a 10 cm e a 20 cm da margem esquerda, e um traço horizontal, a 10 cm da margem superior. Isso forma 3 colunas e 2 linhas, ou seja, 6 quadrados de 10 cm de lado.

Quadrados de lado 10 cm (6 quadrados), com traços verticais a 10 cm e 20 cm da esquerda e um horizontal a 10 cm do topo.

c) Na primeira dobra, a faixa de 8 cm vai para cima da folha. A folha fica com 30-8=22 cm de largura e 20 cm de altura. A parte amarela visível tem 14 cm de largura, pois 22-8=14.

Seja x a distância da segunda dobra à margem inferior. A faixa de altura x dobra para cima e cobre toda a largura da folha. A região amarela que sobra é um retângulo de:

largura 14 cm;
altura 20-x-x = 20-2x cm, porque a folha ficou com 20-x de altura e a faixa dobrada cobre x dessa altura.

O perímetro dessa região é 54 cm:

2\,(14 + 20 - 2x) = 54 \Rightarrow 34 - 2x = 27 \Rightarrow x = 3{,}5

Conferindo: a altura amarela é 20-7=13 cm e 2(14+13)=54 cm.

Distância: 3{,}5 cm.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Divisibilidade, MMC e MDC.

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