Questão 2 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2015

Question

Em uma brincadeira, João e Maria retiram cartões numerados de 1 a 7 que estão sobre uma mesa, com as faces numeradas viradas para baixo. Em cada rodada, João retira três cartões e Maria retira dois, restando dois cartões na mesa. Depois de cada rodada, todos os cartões são embaralhados e devolvidos à mesa.

Ilustração de Maria e João sentados à mesa com sete cartões verdes dispostos em leque virados para baixo.

a) Na primeira rodada, João retirou um cartão com um número ímpar e dois cartões com números pares. Maria retirou dois cartões com números ímpares. Explique por que a soma dos números dos cartões que sobraram na mesa é ímpar.

b) Na segunda rodada, João observou que o produto dos números de seus três cartões era ímpar. O produto dos números dos dois cartões de Maria era par ou era ímpar? Explique sua resposta.

c) Na terceira rodada, João olhou seus três cartões e concluiu, acertadamente, que a soma dos números dos dois cartões de Maria era par. Quais foram os cartões que João retirou? Explique sua resposta.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2015

Nível 1 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Em uma brincadeira, João e Maria retiram cartões numerados de 1 a 7 que estão sobre uma mesa, com as faces numeradas viradas para baixo. Em cada rodada, João retira três cartões e Maria retira dois, restando dois cartões na mesa. Depois de cada rodada, todos os cartões são embaralhados e devolvidos à mesa.

Ilustração de Maria e João sentados à mesa com sete cartões verdes dispostos em leque virados para baixo.

a) Na primeira rodada, João retirou um cartão com um número ímpar e dois cartões com números pares. Maria retirou dois cartões com números ímpares. Explique por que a soma dos números dos cartões que sobraram na mesa é ímpar.

b) Na segunda rodada, João observou que o produto dos números de seus três cartões era ímpar. O produto dos números dos dois cartões de Maria era par ou era ímpar? Explique sua resposta.

c) Na terceira rodada, João olhou seus três cartões e concluiu, acertadamente, que a soma dos números dos dois cartões de Maria era par. Quais foram os cartões que João retirou? Explique sua resposta.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)

Na listagem 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, há quatro números ímpares e três pares. Após João e Maria terem retirado seus cartões, sobraram na mesa um cartão ímpar e um cartão par. Desse modo, a soma dos cartões que sobraram na mesa é a soma de um número par com um número ímpar sendo, portanto, ímpar.

b)

Como o produto dos três cartões retirados por João era ímpar, seus três cartões certamente eram ímpares. Assim, sobraram na mesa três cartões com números pares e um cartão com número ímpar para Maria retirar. Como Maria retirou dois desses cartões restantes, certamente retirou pelo menos um cartão par. Consequentemente, o produto dos números dos cartões retirados por Maria na segunda rodada foi par.

c)

João concluiu acertadamente que a soma dos números dos cartões de Maria é par porque ele retirou os três cartões pares. Caso contrário, sempre haveria a possibilidade de Maria retirar um cartão par e um cartão ímpar, que somados resultaria em um número ímpar.

Outra solução. Como João concluiu acertadamente que a soma dos cartões retirados por Maria foi par, ela deve ter retirado dois cartões pares ou dois cartões ímpares. Vejamos as possibilidades iniciais de João:

João não retirou cartões pares. Nesse caso Maria poderia ter retirado um cartão par e um ímpar e a conclusão de João estaria incorreta.
João retirou apenas um cartão par. Nesse caso também Maria poderia ter retirado um cartão par e um ímpar e a conclusão de João estaria errada.
João retirou dois cartões pares. Novamente, Maria poderia ter retirado um cartão par e um ímpar e a conclusão de João estaria incorreta.
João retirou três cartões pares. Como, de fato, foi isso o que aconteceu, ele teve certeza de que Maria retirou dois cartões ímpares, cuja soma é par.

Logo João retirou os cartões 2, 4 e 6.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Entre os cartões de 1 a 7 há 4 ímpares (1, 3, 5, 7) e 3 pares (2, 4, 6).

a) Na mesa, no começo, havia 4 cartões ímpares e 3 pares.

João retirou 1 ímpar e 2 pares. Maria retirou 2 ímpares. Juntos, eles retiraram 1+2=3 cartões ímpares e 2 pares.

Sobraram então 4-3=1 cartão ímpar e 3-2=1 cartão par.

A soma de um número ímpar com um par é sempre ímpar. Logo, a soma dos cartões que sobraram é ímpar.

A soma é ímpar, pois sobraram um cartão ímpar e um par.

b) O produto de três números só é ímpar se todos os fatores forem ímpares, pois basta um fator par para o produto ser par. Então os três cartões de João são ímpares.

Sobram, portanto, 4-3=1 cartão ímpar e 3 pares entre os quatro cartões restantes.

Maria retira 2 desses 4 cartões. Como há só um ímpar, pelo menos um dos cartões dela é par. Logo, o produto dos números dela é par.

O produto dos cartões de Maria era par.

c) Depois que João retira seus 3 cartões, restam 4 na mesa. Maria retirou 2 deles, e João não sabe quais.

Para João ter certeza de que a soma é par, qualquer par escolhido entre esses 4 cartões tem de dar soma par. Isso só acontece se os 4 cartões restantes tiverem a mesma paridade: todos pares ou todos ímpares.

Todos pares é impossível, pois só existem 3 cartões pares. Então os 4 restantes são ímpares: 1, 3, 5 e 7. Dois ímpares sempre somam um número par.

Portanto, João ficou com os cartões que sobram: 2, 4 e 6.

João retirou os cartões 2, 4 e 6.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 2 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2015

Fonte: OBMEP 2ª fase 2015 · Nível 1. Prova oficial ↗