Questão 1 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2015

Question

Lucinha tem três folhas retangulares iguais, cujos lados medem 20 cm e 30 cm.

Folha retangular amarela com dimensões de 20 cm de altura por 30 cm de largura.

a) Lucinha fez dois traços retos na primeira folha, um a 4 cm da margem esquerda e outro a 7 cm da margem superior, dividindo-a em quatro retângulos. Um desses retângulos têm a maior área. Qual é o valor dessa área?

Folha retangular amarela dividida em quatro retângulos por uma reta vertical a 4 cm da margem esquerda e uma reta horizontal a 7 cm da margem superior.

b) Ajude Lucinha a dividir a segunda folha em quadrados iguais, desenhando traços paralelos às margens, de modo que esses quadrados tenham a maior área possível.

Folha retangular amarela.

c) Lucinha pegou a terceira folha, amarela na frente e verde no verso, e fez duas dobras: a primeira a 8 cm da margem esquerda e a segunda a uma certa distância da margem inferior, de forma que o perímetro da região não coberta da folha (contorno da região amarela da última figura) fosse de 54 cm. Qual é a distância da segunda dobra à margem inferior?

Passo a passo das dobras da folha: primeiro com linha tracejada a 8 cm da margem esquerda; depois dobrada para a direita mostrando o verso verde e com nova linha tracejada horizontal a uma distância indicada por "?" da margem inferior; e por fim a folha com as duas dobras feitas, restando um retângulo amarelo no canto superior direito cercado pelas partes verdes dobradas.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2015

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Lucinha tem três folhas retangulares iguais, cujos lados medem 20 cm e 30 cm.

Folha retangular amarela com dimensões de 20 cm de altura por 30 cm de largura.

a) Lucinha fez dois traços retos na primeira folha, um a 4 cm da margem esquerda e outro a 7 cm da margem superior, dividindo-a em quatro retângulos. Um desses retângulos têm a maior área. Qual é o valor dessa área?

Folha retangular amarela dividida em quatro retângulos por uma reta vertical a 4 cm da margem esquerda e uma reta horizontal a 7 cm da margem superior.

b) Ajude Lucinha a dividir a segunda folha em quadrados iguais, desenhando traços paralelos às margens, de modo que esses quadrados tenham a maior área possível.

Folha retangular amarela.

c) Lucinha pegou a terceira folha, amarela na frente e verde no verso, e fez duas dobras: a primeira a 8 cm da margem esquerda e a segunda a uma certa distância da margem inferior, de forma que o perímetro da região não coberta da folha (contorno da região amarela da última figura) fosse de 54 cm. Qual é a distância da segunda dobra à margem inferior?

Passo a passo das dobras da folha: primeiro com linha tracejada a 8 cm da margem esquerda; depois dobrada para a direita mostrando o verso verde e com nova linha tracejada horizontal a uma distância indicada por "?" da margem inferior; e por fim a folha com as duas dobras feitas, restando um retângulo amarelo no canto superior direito cercado pelas partes verdes dobradas.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)
O maior dos quatro retângulos tem lados de medida 30 - 4 = 26\text{ cm} e 20 - 7 = 13\text{ cm}. Logo, sua área é 26 \times 13 = 338\text{ cm}^2.

[Figura: Retângulo dividido em quatro partes por duas linhas perpendiculares, com medidas indicadas de 4 cm no topo à esquerda, 7 cm na lateral superior esquerda, e o retângulo maior amarelo com 26 cm de largura e 13 cm de altura]

b)
[Figura: Retângulo dividido em 6 quadrados iguais de cor amarela, dispostos em duas linhas e três colunas]

Com um traço horizontal e dois verticais geramos os quadrados de maior área possível. Para formar apenas quadrados, o valor do lados desses quadrados deve dividir 20 e 30. A maior área ocorre, então, quando o lado desses quadrados for o máximo divisor comum de 20 e 30, ou seja, 10\text{ cm}.

c)
[Figura: Três etapas do processo de dobra da folha retangular: 1) folha aberta com linha tracejada vertical a 8 cm da margem esquerda; 2) primeira dobra feita formando uma faixa verde à esquerda de 8 cm de largura e uma linha tracejada horizontal na base com uma interrogação "?"; 3) segunda dobra feita para cima, resultando em um retângulo amarelo visível com 14 cm de largura e 13 cm de altura]

Vamos chamar a distância da segunda dobra até a margem inferior da folha de altura da dobra.

Como a folha tem 30\text{ cm} de largura e a primeira dobra foi feita a 8\text{ cm} da margem direita da folha, a largura da região em amarelo da última figura é igual a 30\text{ cm} menos duas vezes 8\text{ cm}, ou seja, 30 - 16 = 14\text{ cm}.

Após a segunda dobra, o dobro da altura do retângulo amarelo será a diferença entre seu perímetro e o dobro de sua largura, ou seja, 54 - 28 = 26\text{ cm}. Portanto, a altura do retângulo amarelo na terceira figura é 13\text{ cm}. Assim, da altura da folha original sobraram 20 - 13 = 7\text{ cm} para a realização da segunda dobra e, portanto, a altura da dobra é a metade, ou seja, 7 \div 2 = 3{,}5\text{ cm}.

Outra solução.

Como a folha tem 30\text{ cm} de largura e a primeira dobra foi feita a 8\text{ cm} da margem direita da folha, a largura da região em amarelo da última figura é igual a 30\text{ cm} menos duas vezes 8\text{ cm}, ou seja, 30 - 16 = 14\text{ cm}.

De forma análoga, como a folha tem 20\text{ cm} de altura, a altura da região em amarelo da última figura é igual 20\text{ cm} menos duas vezes a altura da dobra.

O perímetro da região em amarelo da última figura é igual a 54\text{ cm}, e seu semiperímetro (metade do perímetro) é 27\text{ cm}.

O semiperimetro de uma região retângular é a soma da largura e da altura dessa região. Assim, 14\text{ cm} mais 20\text{ cm} menos duas vezes a altura da dobra tem que ser igual a 27\text{ cm}.

14 + 20 - 2 \times (\text{altura da dobra}) = 27\text{ cm}

Logo 27\text{ cm} mais duas vezes a altura da dobra é igual a 34\text{ cm},

27 + 2 \times (\text{altura da dobra}) = 34\text{ cm}

e a altura da dobra é igual à metade da diferença 34 - 27 = 7\text{ cm}, ou seja, metade de 7\text{ cm}. Logo, \text{altura da dobra} = ( 34 - 27 ) \div 2 = 3{,}5\text{ cm}.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Os dois traços dividem a folha de 30\ \text{cm}\times 20\ \text{cm} assim:

na largura: 4\ \text{cm} e 30-4=26\ \text{cm};
na altura: 7\ \text{cm} e 20-7=13\ \text{cm}.

O maior retângulo é o que tem as duas maiores medidas, 26\ \text{cm} e 13\ \text{cm}:

26\times 13=338\ \text{cm}^2

Resposta: 338\ \text{cm}^2.

b) O lado do quadrado precisa caber um número inteiro de vezes em 20 e em 30. Ou seja, ele é um divisor comum de 20 e 30. O maior quadrado possível tem lado igual ao \text{mdc}(20,30)=10\ \text{cm}.

Traços a fazer:

dois traços verticais, a 10\ \text{cm} e a 20\ \text{cm} da margem esquerda;
um traço horizontal, a 10\ \text{cm} da margem superior (ou inferior).

Isso forma 3\times 2=6 quadrados de 10\ \text{cm} de lado, de área 100\ \text{cm}^2 cada.

Resposta: lado de 10\ \text{cm}, com 2 traços verticais (a 10 cm e a 20 cm) e 1 horizontal (a 10 cm), formando 6 quadrados.

c) Seja x a distância da segunda dobra à margem inferior.

Após a 1ª dobra, a faixa de 8\ \text{cm} vira para cima da folha. A folha fica com 30-8=22\ \text{cm} de largura e 20\ \text{cm} de altura. A parte amarela visível tem 22-8=14\ \text{cm} de largura.
A 2ª dobra leva a faixa inferior, de altura x, para cima da folha. Ela cobre as alturas de x até 2x (medidas a partir da borda original). A parte amarela visível fica com altura 20-2x.
O contorno da região amarela é um retângulo de 14\ \text{cm} por (20-2x)\ \text{cm}, com perímetro 54\ \text{cm}:

2\,(14+20-2x)=54 \Rightarrow 34-2x=27 \Rightarrow x=3{,}5

Conferindo: a região amarela fica 14\times 13, de perímetro 2(14+13)=54\ \text{cm}.

Resposta: 3{,}5\ \text{cm}.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Divisibilidade, MMC e MDC.

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