Questão 3 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2015

Question

Comece uma sequência escrevendo dois números inteiros não negativos, sendo o primeiro maior do que o segundo. Depois, para encontrar os próximos termos da sequência, repita o seguinte procedimento:

se o último termo escrito for maior do que o penúltimo, a sequência termina;
caso contrário, o próximo termo a ser escrito será o penúltimo menos o último.

Um exemplo é a sequência 120, 71, 49, 22, 27; ela começa com 120 e 71 e possui cinco termos.

Ilustração de um caderno com os números da sequência anotados linha por linha: 120, 71, 49, 22, 27 e, na linha seguinte, o número -5 riscado com um X vermelho.

a) Escreva a sequência que começa com 30 e 16.

b) Escreva a sequência que possui exatamente cinco termos, sendo o quarto termo igual a 1 e o quinto termo igual a 2.

c) Uma sequência que começa com 25 tem exatamente três termos. Quais são os valores possíveis para o segundo termo?

d) Uma sequência que começa com 60 tem o maior número possível de termos. Qual é o valor do segundo termo dessa sequência?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2015

Nível 2 · Matemática: Sequências e padrões

Comece uma sequência escrevendo dois números inteiros não negativos, sendo o primeiro maior do que o segundo. Depois, para encontrar os próximos termos da sequência, repita o seguinte procedimento:

se o último termo escrito for maior do que o penúltimo, a sequência termina;
caso contrário, o próximo termo a ser escrito será o penúltimo menos o último.

Um exemplo é a sequência 120, 71, 49, 22, 27; ela começa com 120 e 71 e possui cinco termos.

Ilustração de um caderno com os números da sequência anotados linha por linha: 120, 71, 49, 22, 27 e, na linha seguinte, o número -5 riscado com um X vermelho.

a) Escreva a sequência que começa com 30 e 16.

b) Escreva a sequência que possui exatamente cinco termos, sendo o quarto termo igual a 1 e o quinto termo igual a 2.

c) Uma sequência que começa com 25 tem exatamente três termos. Quais são os valores possíveis para o segundo termo?

d) Uma sequência que começa com 60 tem o maior número possível de termos. Qual é o valor do segundo termo dessa sequência?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)
A sequência que começa com 30 e 16 é: \mathbf{30}, \mathbf{16}, \mathbf{14} = 30 - 16, \mathbf{2} = 16 - 14, \mathbf{12} = 14 - 2. O próximo termo não pertence à sequência pois ele é negativo (2 - 12 = -10).

b)
Se a sequência tem cinco termos e termina em 1, 2, ela é do tipo

\_\_\ , \_\_\ , \_\_\ , 1 , 2\text{.}

Se chamarmos x o termo anterior ao 1 sabemos que x - 1 = 2, logo x = 3. Da mesma forma, se y é o termo anterior ao 3 sabemos que y - 3 = 1, logo y = 4. Finalmente, se z é o termo anterior ao 4 sabemos que z - 4 = 3, logo z = 7. Portanto, a sequência é formada pelos seguintes termos: 7, 4, 3, 1, 2.

Outra Solução.
Denotemos por a_n o n-ésimo termo da sequência cujo quarto termo é 1 e o quinto termo é 2. Assim,

a_3 = a_4 + a_5 = 1 + 2 = 3\ ,\ a_2 = a_3 + a_4 = 3 + 1 = 4\ ,\ a_1 = a_2 + a_3 = 4 + 3 = 7\text{.}

Logo, a sequência é formada pelos seguintes termos: 7, 4, 3, 1, 2.

c)
Denotemos por a o segundo termo da sequência. A sequência então é formada pelos termos: 25, a e 25 - a; já que ela termina no terceiro termo, o termo posterior deve ser negativo, ou seja, a - (25 - a) = 2a - 25 < 0. Logo, a é um número inteiro não negativo, menor do que 12{,}5, ou seja

a \in \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 \}\text{.}

d)
Denotemos novamente por a o segundo termo da sequência e calculemos os demais termos, sem nos importarmos inicialmente com as restrições descritas no enunciado:

60\ , a\ , 60 - a\ , 2a - 60\ , 120 - 3a\ , 5a - 180\ , 300 - 8a\ , 13a - 480\ , \dots

Vamos impor agora as restrições do enunciado:

0 \le a < 60
2a - 60 \ge 0 \Rightarrow a \ge 30
120 - 3a \ge 0 \Rightarrow a \le 40
5a - 180 \ge 0 \Rightarrow a \ge 36
300 - 8a \ge 0 \Rightarrow a \le 37{,}5
13a - 480 \ge 0 \Rightarrow a \ge 36{,}9

Como a é um número inteiro, a = 37 e a sequência é formada pelos termos: 60, 37, 23, 14, 9, 5, 4, 1, 3.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Cada termo novo é o penúltimo menos o último, e a sequência para quando o último termo escrito é maior que o penúltimo. O termo negativo não chega a ser escrito.

a) Começando com 30 e 16:

30-16=14. Como 14<16, continua.
16-14=2. Como 2<14, continua.
14-2=12. Agora 12>2, e a sequência termina.

A sequência é 30,\ 16,\ 14,\ 2,\ 12.

b) Vamos de trás para frente. Se a_{n+1}=a_{n-1}-a_n, então a_{n-1}=a_n+a_{n+1}.

a_4=1 e a_5=2, logo a_3=a_4+a_5=3.
a_2=a_3+a_4=3+1=4.
a_1=a_2+a_3=4+3=7.

Conferindo: 7,4,3,1,2. Os termos diminuem até o quarto, e o quinto (2) é maior que o quarto (1), então a sequência para com cinco termos.

A sequência é 7,\ 4,\ 3,\ 1,\ 2.

c) Seja x o segundo termo, com 0\le x<25. O terceiro termo é 25-x. Para a sequência terminar nele, ele precisa ser maior que o segundo:

25-x>x \iff x<12{,}5.

Como x é inteiro, x\le 12. Esses valores servem, pois o segundo termo x é menor que 25 e a sequência não termina antes do terceiro termo. Por exemplo, 25,12,13 tem três termos, e 25,0,25 também.

Os valores possíveis são os inteiros de 0 a 12.

d) Os termos devem diminuir o mais devagar possível, como na sequência de Fibonacci ao contrário. Se a sequência tem n termos e os dois últimos são p<q, voltando termo a termo temos a_{n-2}=p+q, a_{n-3}=2p+q, a_{n-4}=3p+2q, e assim por diante. Assim, o primeiro termo é

a_1=F_{n-1}\,p+F_{n-2}\,q,

com F os números de Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,\dots e 0\le p<q.

Precisamos de a_1=60:

n=12: 89p+55q=60 não tem solução, pois p=0 dá 55q=60 e p\ge1 passa de 60.
n=11: 55p+34q=60 não tem solução, pois p=0 dá 34q=60 e p=1 dá 34q=5.
n=10: 34p+21q=60 não tem solução, pois p=0 dá 21q=60 e p=1 dá 21q=26.
n=9: 21p+13q=60 tem solução com p=1 e q=3, que satisfaz p<q.

Para n\ge 13 os coeficientes passam de 60, então o máximo é 9 termos. O segundo termo é a_2=F_7p+F_6q=13\cdot1+8\cdot3=37.

Conferindo: 60,37,23,14,9,5,4,1,3 tem 9 termos. Aqui 3>1, e a sequência termina.

O segundo termo é 37.

Assunto: Sequências e padrões.

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Questão 3 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2015

Fonte: OBMEP 2ª fase 2015 · Nível 2. Prova oficial ↗