PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 2 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2015
No atendimento ao cliente, um banco tem um único funcionário, que começa a trabalhar às 10 horas. Se o funcionário está livre quando um cliente chega, este é atendido imediatamente; caso contrário, o cliente deve aguardar sua vez em uma fila. Em certa manhã, no período entre 10 e 11 horas, chegaram ao banco seis clientes.
a) A tabela abaixo apresenta o horário da chegada e a duração do atendimento de cada um deles. Preencha a tabela com o tempo de espera na fila, horário de início e horário de término do atendimento de cada cliente.
| Cliente | Horário da chegada | Duração do atendimento (minutos) | Tempo de espera na fila (minutos) | Horário de início do atendimento | Horário de término do atendimento |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 10h 06min | 6 | |||
| 2 | 10h 15min | 6 | |||
| 3 | 10h 19min | 15 | |||
| 4 | 10h 29min | 12 | |||
| 5 | 10h 34min | 7 | |||
| 6 | 10h 42min | 1 |
b) Qual foi o tempo médio de espera dos clientes na fila?
c) Quais foram os intervalos de tempo em que duas pessoas ficaram esperando juntas na fila?
d) Faça o gráfico da função que fornece, para cada instante entre 10 e 11 horas, o tempo total que o funcionário gastou atendendo clientes até aquele instante.
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) Cada cliente começa a ser atendido no maior valor entre o horário da chegada e o horário em que o cliente anterior termina. A espera é o início menos a chegada.
- Cliente 1: chega às 10h06 com o funcionário livre. Espera 0, começa às 10h06 e termina às 10h12.
- Cliente 2: chega às 10h15, e o funcionário já está livre desde as 10h12. Espera 0, começa às 10h15 e termina às 10h21.
- Cliente 3: chega às 10h19, mas o funcionário só fica livre às 10h21. Espera 2 min, começa às 10h21 e termina às 10h36 (15 min).
- Cliente 4: chega às 10h29 e começa às 10h36. Espera 7 min e termina às 10h48 (12 min).
- Cliente 5: chega às 10h34 e começa às 10h48. Espera 14 min e termina às 10h55 (7 min).
- Cliente 6: chega às 10h42 e começa às 10h55. Espera 13 min e termina às 10h56 (1 min).
| Cliente | Espera (min) | Início | Término |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 10h06 | 10h12 |
| 2 | 0 | 10h15 | 10h21 |
| 3 | 2 | 10h21 | 10h36 |
| 4 | 7 | 10h36 | 10h48 |
| 5 | 14 | 10h48 | 10h55 |
| 6 | 13 | 10h55 | 10h56 |
b) Somando as esperas: 0+0+2+7+14+13=36 min. Dividindo por 6 clientes:
Tempo médio de espera: 6 minutos.
c) Cada cliente fica na fila da chegada até o início do atendimento:
- Cliente 3: 10h19 a 10h21.
- Cliente 4: 10h29 a 10h36.
- Cliente 5: 10h34 a 10h48.
- Cliente 6: 10h42 a 10h55.
As esperas se sobrepõem em dois trechos. Os clientes 4 e 5 ficam juntos de 10h34 a 10h36. Os clientes 5 e 6 ficam juntos de 10h42 a 10h48. Os clientes 4 e 6 não se encontram, pois o 4 sai da fila às 10h36 e o 6 só chega às 10h42.
Duas pessoas esperaram juntas de 10h34 a 10h36 e de 10h42 a 10h48.
d) Seja t o tempo em minutos após as 10h, e f(t) o tempo total de atendimento acumulado. O gráfico é formado por segmentos de reta: sobe com inclinação 1 quando o funcionário atende e fica horizontal quando ele está livre.
- 0\le t\le 6: f=0.
- 6\le t\le 12: sobe de 0 a 6.
- 12\le t\le 15: constante em 6.
- 15\le t\le 21: sobe de 6 a 12.
- 21\le t\le 36: sobe de 12 a 27.
- 36\le t\le 48: sobe de 27 a 39.
- 48\le t\le 55: sobe de 39 a 46.
- 55\le t\le 56: sobe de 46 a 47.
- 56\le t\le 60: constante em 47.
O valor final confere com a soma das durações: 6+6+15+12+7+1=47.
A poligonal passa pelos pontos (0,0), (6,0), (12,6), (15,6), (21,12), (56,47) e (60,47). Entre t=21 e t=56 o funcionário atende sem parar, então o trecho é uma única reta de inclinação 1, de (21,12) a (56,47).
Gráfico: poligonal por (0,0), (6,0), (12,6), (15,6), (21,12), (56,47) e (60,47).
Assuntos: Função afim, Unidades de medida e conversões, Média aritmética e ponderada.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2015 · Nível 3. Prova oficial ↗