Questão 6 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2015

Question

Gilmar brinca de cobrir tabuleiros com peças do tipo peça de três casas . Cada peça cobre perfeitamente três casas do tabuleiro, na vertical ou na horizontal. As casas dos tabuleiros estão pintadas e carimbadas com três cores e três marcas, intercaladamente, de modo que cada peça cobre sempre três cores diferentes e três marcas diferentes, como na figura.

Tabuleiro com padrão de cores e marcas, destacando duas peças de três casas e diagonais com anotações de mesma cor e mesma marca

a) Na Figura 1 vemos uma maneira de cobrir um tabuleiro 4 \times 4, deixando apenas uma casa descoberta. Desenhe na Figura 2 outra maneira de cobrir esse tabuleiro, deixando apenas uma casa descoberta.

Figura 1 Figura 2

b) Explique por que, quando se cobre com 5 peças um tabuleiro 4 \times 4, uma das casas do canto sempre fica descoberta.

c) Ao cobrir um tabuleiro 8 \times 8 com 21 peças, uma casa ficará descoberta. Marque no tabuleiro as posições possíveis para essa casa, e justifique por que só existem essas posições que você marcou.

Tabuleiro 8 por 8

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2015

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Gilmar brinca de cobrir tabuleiros com peças do tipo peça de três casas . Cada peça cobre perfeitamente três casas do tabuleiro, na vertical ou na horizontal. As casas dos tabuleiros estão pintadas e carimbadas com três cores e três marcas, intercaladamente, de modo que cada peça cobre sempre três cores diferentes e três marcas diferentes, como na figura.

Tabuleiro com padrão de cores e marcas, destacando duas peças de três casas e diagonais com anotações de mesma cor e mesma marca

a) Na Figura 1 vemos uma maneira de cobrir um tabuleiro 4 \times 4, deixando apenas uma casa descoberta. Desenhe na Figura 2 outra maneira de cobrir esse tabuleiro, deixando apenas uma casa descoberta.

Figura 1 Figura 2

b) Explique por que, quando se cobre com 5 peças um tabuleiro 4 \times 4, uma das casas do canto sempre fica descoberta.

c) Ao cobrir um tabuleiro 8 \times 8 com 21 peças, uma casa ficará descoberta. Marque no tabuleiro as posições possíveis para essa casa, e justifique por que só existem essas posições que você marcou.

Tabuleiro 8 por 8

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)

Abaixo estão algumas maneiras de se cobrir o tabuleiro, todas elas diferentes da que aparece na Figura 1.

[Figura: três tabuleiros 4×4 cobertos por cinco peças de tamanho 3×1, deixando cada um uma casa de canto descoberta]

b)

Primeiro, observemos que cinco peças cobrem exatamente 5 \times 3 = 15 casas do tabuleiro. Consequentemente, quando cobrimos o tabuleiro com cinco peças, sobrará uma casa descoberta. Por outro lado, observemos que o tabuleiro apresentado possui 5 casas brancas, 5 casas cinzas e 6 casas amarelas. Também vemos que ele possui 5 casas marcadas com a palavra OBMEP, 5 com o ano 2015 e, finalmente, 6 com o logotipo [Figura: logotipo da OBMEP]. Como cada peça cobre sempre três cores e três marcas diferentes, concluímos que a única casa descoberta deve ser amarela e marcada com o logo [Figura: logotipo da OBMEP]. Mas somente as casas dos cantos têm estas características (amarela e marcada com [Figura: logotipo da OBMEP]). Portanto, a única casa descoberta sempre será uma casa localizada em um dos cantos.

Outra solução. Se forem colocadas quatro peças no tabuleiro cobrindo os quatro cantos então as quatro casas centrais do tabuleiro ficarão descobertas, e a quinta peça nunca irá cobrir essas casas, pois não há possibilidade de encaixe para essa peça. Logo, a única forma de se cobrir um tabuleiro 4 \times 4 com 5 peças é deixar uma das casas do canto descoberta. Isso é sempre possível, como visto no item a).

c)

Analogamente ao que vimos no item anterior, com 21 peças podemos cobrir 63 casas. Portanto, pelo menos uma casa ficará descoberta, uma vez que o tabuleiro 8 \times 8 tem 64 casas. Usando o mesmo raciocínio aplicado no item anterior, observemos que o tabuleiro apresentado possui 21 casas amarelas, 21 casas cinzas e 22 casas brancas. Por outro lado, possui 21 casas demarcadas com a palavra OBMEP, 21 casas com o ano 2015 e 22 com o logo [Figura: logotipo da OBMEP]. Consequentemente, se a cobertura deixar apenas uma casa descoberta, esta deve ser branca e marcada com o logo [Figura: logotipo da OBMEP]. Dentre todas as casas do tabuleiro, existem apenas 4 com essas características, destacadas em vermelho na figura abaixo à esquerda. Na figura abaixo, ao centro, exibimos uma possível cobertura com a correspondente casa descoberta. A partir dessa, “rodando” a cobertura sobre o tabuleiro, obtemos uma nova cobertura exibida na figura à direita, cuja casa descoberta é diferente da anterior. Seguindo esta ideia, podemos exibir 4 coberturas diferentes, cada uma correspondendo a uma das casas indicadas na figura à esquerda.

[Figura: três tabuleiros 8×8 mostrando, à esquerda, quatro casas brancas com o logo da OBMEP destacadas em vermelho; ao centro, uma cobertura completa com 21 peças 3×1 deixando descoberta uma dessas casas; e à direita, a cobertura rotacionada 90 graus]

Outra solução. Pinte 28 casas do tabuleiro 8 \times 8, dispostas em duas faixas horizontais e duas faixas verticais, conforme a figura abaixo.

[Figura: tabuleiro 8×8 com as linhas 3 e 6 e as colunas 3 e 6 pintadas]

Suponha, por absurdo, que exista uma cobertura do tabuleiro com 21 peças do tipo 3 \times 1 que cobrem as quatro casas situadas na interseção de duas faixas pintadas. Cada peça que cobre uma casa da interseção obrigatoriamente cobre 3 casas pintadas e não cobre duas casas da interseção de duas faixas. Portanto há 4 peças, cada uma cobrindo exatamente uma casa da interseção, logo, juntas cobrem ao todo 12 das casas pintadas. Pela disposição da pintura (das faixas estarem afastadas de 2 casas entre si), cada uma das 17 peças restantes cobre exatamente 1 casa pintada. Logo o número de casas pintadas no tabuleiro é maior do que ou igual a 12 + 17 = 29, absurdo, pois apenas há 28 delas. Portanto qualquer cobertura do tabuleiro com 21 peças deixa descoberta uma das casas de interseção de duas faixas. A existência de coberturas do tabuleiro com 21 peças deixando descoberta uma casa da interseção de duas faixas é exibida na solução anterior.

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Resolução comentada

a) Numere linhas e colunas de cima para baixo e da esquerda para a direita. Uma peça cobre três casas seguidas, e as cores e as marcas se repetem de 3 em 3. Por isso a peça sempre pega as três cores e as três marcas.

Uma solução diferente da Figura 1:

uma peça horizontal na 1ª linha, cobrindo as colunas 2, 3 e 4;
quatro peças verticais, uma em cada coluna (1, 2, 3 e 4), todas cobrindo as linhas 2, 3 e 4.

São 5 peças, que cobrem 15 casas. Fica descoberta só a casa do canto superior esquerdo (amarela, com a marca "2º3").

Resposta: peça horizontal na 1ª linha (colunas 2 a 4) e quatro peças verticais nas linhas 2 a 4; só o canto superior esquerdo fica livre.

b) São 16 casas e 5 peças cobrem 15, então uma casa fica livre. Cada peça cobre uma casa de cada cor. Logo, 5 peças cobrem 5 casas de cada cor.

Contando as casas do tabuleiro 4\times4 pelas diagonais de mesma cor, há 6 amarelas, 5 brancas e 5 cinzas. Como as peças cobrem 5 de cada, a casa livre é amarela.

O mesmo vale para as marcas. Pelas diagonais de mesma marca, há 6 casas com "2º3", 5 com OBMEP e 5 com 2015. A casa livre tem a marca "2º3".

As casas amarelas com "2º3" são as que têm linha e coluna (numeradas de 0 a 3) múltiplas de 3, isto é, apenas 0 ou 3. Essas casas são exatamente os quatro cantos. Portanto a casa descoberta é sempre um canto.

Resposta: a casa livre precisa ser amarela com "2º3", e só os quatro cantos têm essa combinação.

c) São 64 casas e 21 peças cobrem 63, então uma fica livre. Cada peça cobre uma casa de cada cor e uma de cada marca. Logo, 21 peças cobrem 21 casas de cada cor e de cada marca.

No tabuleiro 8\times8, contando as casas pelas diagonais:

Cores: 21 amarelas, 22 brancas e 21 cinzas. A casa livre é branca.
Marcas: 22 com "2º3", 21 com OBMEP e 21 com 2015. A casa livre tem "2º3".

As casas brancas com "2º3" são as que ficam na 3ª e na 6ª linhas e, ao mesmo tempo, na 3ª e na 6ª colunas. Isso porque, numerando de 0 a 7, linha e coluna devem deixar resto 2 na divisão por 3, ou seja, valer 2 ou 5.

Marcamos então as quatro casas nas posições (3ª linha, 3ª coluna), (3ª, 6ª), (6ª, 3ª) e (6ª, 6ª). Nenhuma outra casa tem a cor e a marca exigidas, então só essas podem ficar descobertas.

Resposta: as casas (3,3), (3,6), (6,3) e (6,6), contando linha e coluna de 1 a 8.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Fonte: OBMEP 2ª fase 2015 · Nível 2. Prova oficial ↗