PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 6 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2013
Helena brinca com tabuleiros 3 \times 3, preenchidos com os algarismos 0 ou 1, da seguinte maneira:
- ela atribui o número 0 a cada linha, coluna ou diagonal cuja soma de seus algarismos seja par e o número 1 a cada linha, coluna ou diagonal para a qual essa soma seja ímpar;
- em seguida, ela calcula a nota do tabuleiro, que é a soma dos números que ela atribuiu.
Por exemplo, a nota do tabuleiro na ilustração é 0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1 + 1 + 0 = 4.
a) Qual é a nota do tabuleiro abaixo?
| 0 | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
b) Preencha os tabuleiros abaixo de quatro maneiras diferentes e de modo que todos tenham nota 8.
c) Explique por que, quando se troca o número de um dos cantos de um tabuleiro de nota ímpar, sua nota torna-se par.
d) De quantas maneiras diferentes um tabuleiro pode ser preenchido de modo que sua nota seja ímpar?
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) Há 8 linhas a avaliar: 3 linhas, 3 colunas e 2 diagonais. Soma ímpar vale 1 e soma par vale 0.
- Linhas: 0+0+1=1\to1; 1+1+1=3\to1; 0+0+0=0\to0.
- Colunas: 0+1+0=1\to1; 0+1+0=1\to1; 1+1+0=2\to0.
- Diagonais: 0+1+0=1\to1; 1+1+0=2\to0.
Nota: (1+1+0)+(1+1+0)+(1+0)=5.
Resposta: nota 5.
b) Nota 8 significa que as 8 linhas valem 1, isto é, todas as linhas, colunas e diagonais têm soma ímpar (1 ou 3 algarismos 1). Quatro tabuleiros que servem:
- Todas as casas com 1: toda soma é 3.
- Uns na diagonal principal e zeros no resto: toda linha, coluna e diagonal tem soma 1.
- Uns na outra diagonal e zeros no resto: idem.
- Uns na casa central e nas quatro casas do meio dos lados (formato de "+"), zeros nos cantos: linhas 1, 3, 1; colunas 1, 3, 1; diagonais 1 e 1.
Resposta: os quatro tabuleiros acima (há outras possibilidades).
c) Cada canto pertence a exatamente 3 linhas: uma linha, uma coluna e uma diagonal. Trocar o número do canto (0 por 1 ou 1 por 0) muda a paridade da soma dessas 3 linhas. Assim, o valor de cada uma delas troca (0 vira 1 ou 1 vira 0), ou seja, cada uma varia em +1 ou -1. As outras 5 linhas não mudam.
A nota varia, então, pela soma de três parcelas iguais a +1 ou -1, e essa soma é sempre ímpar (\pm1 ou \pm3). Ímpar mais ímpar dá par, portanto a nota passa a ser par.
Resposta: a nota muda por um valor ímpar, então vai de ímpar para par.
d) Só importa a paridade da nota, que é a paridade da soma de todas as somas das linhas. Nessa soma, cada casa é contada tantas vezes quantas são as linhas a que pertence:
- canto: 3 vezes;
- casa do meio de um lado: 2 vezes;
- centro: 4 vezes (linha, coluna e 2 diagonais).
As casas contadas um número par de vezes não alteram a paridade. Logo, a nota é ímpar exatamente quando a quantidade de 1 nos quatro cantos é ímpar.
Nos cantos, há 2^4=16 preenchimentos, dos quais 8 têm quantidade ímpar de 1 (1 ou 3 uns: 4+4). As outras 5 casas são livres: 2^5=32.
Total: 8\times32=256. Isso é metade dos 2^9=512 tabuleiros, o que combina com o item (c).
Resposta: 256 maneiras.
Assuntos: Lógica e raciocínio lógico, Princípio fundamental da contagem.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2013 · Nível 1. Prova oficial ↗