PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 3 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2013
Helena brinca com tabuleiros 3 \times 3, preenchidos com os algarismos 0 ou 1, da seguinte maneira:
• ela atribui o número 0 a cada linha, coluna ou diagonal cuja soma de seus algarismos seja par e o número 1 a cada linha, coluna ou diagonal para a qual essa soma seja ímpar;
• em seguida, ela calcula a nota do tabuleiro, que é a soma dos números que ela atribuiu.
Por exemplo, a nota do tabuleiro na ilustração é 0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1 + 1 + 0 = 4.
a) Qual é a nota do tabuleiro abaixo?
| 0 | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
b) Preencha os tabuleiros abaixo de quatro maneiras diferentes e de modo que todos tenham nota 8.
c) Explique por que, quando se troca o número de um dos cantos de um tabuleiro de nota ímpar, sua nota torna-se par.
d) De quantas maneiras diferentes um tabuleiro pode ser preenchido de modo que sua nota seja ímpar?
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) O tabuleiro tem 8 linhas a considerar: 3 linhas, 3 colunas e 2 diagonais. Em cada uma, o número atribuído é a paridade da soma (0 se par, 1 se ímpar).
- Linhas: 0+0+1=1 (ímpar, vale 1); 1+1+1=3 (ímpar, vale 1); 0+0+0=0 (par, vale 0).
- Colunas: 0+1+0=1 (vale 1); 0+1+0=1 (vale 1); 1+1+0=2 (vale 0).
- Diagonais: 0+1+0=1 (vale 1); 1+1+0=2 (vale 0).
Nota: (1+1+0)+(1+1+0)+(1+0)=5.
Nota 5.
b) Nota 8 significa que as 8 linhas, colunas e diagonais têm soma ímpar. Quatro preenchimentos que funcionam (escritos linha a linha):
- Todos 1: 111/111/111. Todas as somas valem 3.
- Cruz (centro e meios das bordas iguais a 1, cantos 0): 010/111/010. Todas as somas valem 1 ou 3.
- Diagonal principal: 100/010/001. Cada linha, coluna e diagonal soma 1, exceto a diagonal principal, que soma 3.
- Diagonal secundária: 001/010/100, com raciocínio análogo.
Confira o 3: as linhas somam 1, 1, 1; as colunas somam 1, 1, 1; as diagonais somam 3 e 1. Todas são ímpares, então a nota é 8.
Resposta: por exemplo 111/111/111, 010/111/010, 100/010/001 e 001/010/100.
c) Um canto pertence a exatamente 3 linhas: uma linha, uma coluna e uma diagonal. Ao trocar o número do canto (0 por 1 ou 1 por 0), a soma de cada uma dessas três linhas muda de 1 unidade, e portanto a paridade dela se inverte. Assim, cada uma das três linhas muda seu número atribuído: de 0 para 1 ou de 1 para 0.
Cada mudança altera a nota em +1 ou -1, isto é, em um número ímpar. As demais linhas não mudam. Logo a nota varia pela soma de três números ímpares, que é ímpar.
Ímpar mais ímpar dá par, então a nota ímpar passa a ser par.
Resposta: o canto está em 3 linhas, cada uma muda de valor em uma unidade, e a nota muda por uma quantidade ímpar, então sua paridade se inverte.
d) Há 2^9=512 tabuleiros no total. O argumento do item c vale para qualquer tabuleiro, não só para os de nota ímpar: trocar um canto sempre inverte a paridade da nota.
Fixe um canto e troque seu número. Isso associa cada tabuleiro a outro, e aplicar a troca duas vezes volta ao original. Cada tabuleiro de nota ímpar fica então emparelhado com um de nota par, e vice-versa. Portanto os tabuleiros de nota ímpar são metade do total:
256 maneiras.
Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Lógica e raciocínio lógico.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2013 · Nível 3. Prova oficial ↗