PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 5 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2013
Helena brinca com tabuleiros 3 \times 3, preenchidos com os algarismos 0 ou 1, da seguinte maneira:
- ela atribui o número 0 a cada linha, coluna ou diagonal cuja soma de seus algarismos seja par e o número 1 a cada linha, coluna ou diagonal para a qual essa soma seja ímpar;
- em seguida, ela calcula a nota do tabuleiro, que é a soma dos números que ela atribuiu.
Por exemplo, a nota do tabuleiro na ilustração é 0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1 + 1 + 0 = 4.
a) Qual é a nota do tabuleiro abaixo?
| 0 | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
b) Preencha os tabuleiros abaixo de quatro maneiras diferentes e de modo que todos tenham nota 8.
c) Explique por que, quando se troca o número de um dos cantos de um tabuleiro de nota ímpar, sua nota torna-se par.
d) De quantas maneiras diferentes um tabuleiro pode ser preenchido de modo que sua nota seja ímpar?
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) Calcule a soma de cada linha, coluna e diagonal do tabuleiro (linhas 001 / 111 / 000).
- Linhas: somas 1, 3 e 0, que dão os números 1, 1 e 0.
- Colunas: somas 1, 1 e 2, que dão 1, 1 e 0.
- Diagonais: a principal soma 0+1+0=1 e a outra soma 1+1+0=2, que dão 1 e 0.
Nota: 1+1+0+1+1+0+1+0=5.
Nota do tabuleiro: 5.
b) Nota 8 significa que as 8 linhas, colunas e diagonais valem 1, ou seja, todas têm soma ímpar (1 ou 3 algarismos 1). Quatro preenchimentos que funcionam (use 1 no centro):
- Todos os algarismos iguais a 1: 111 / 111 / 111.
- 100 / 010 / 001 (só a diagonal principal e o centro com 1; a outra diagonal tem soma 1).
- 001 / 010 / 100.
- 010 / 111 / 010 (a cruz).
Conferindo o quarto: linhas 1,3,1; colunas 1,3,1; diagonais 1 e 1. Todas as somas são ímpares, então a nota é 8. Os outros três se conferem do mesmo modo.
Quatro tabuleiros possíveis: 111/111/111, 100/010/001, 001/010/100 e 010/111/010.
c) Cada canto pertence a exatamente três linhas: uma linha, uma coluna e uma diagonal. Trocar o número do canto (0 por 1 ou 1 por 0) muda a soma de cada uma dessas três linhas em uma unidade, então a paridade de cada soma se inverte. Assim, cada um dos três números atribuídos troca de 0 para 1 ou de 1 para 0, e a nota varia em +1 ou -1 em cada um deles. Três variações de \pm1 somam um número ímpar, e a nota muda de paridade. Portanto, nota ímpar vira par.
Cada troca de canto altera três números, e a nota muda por uma quantidade ímpar; por isso ímpar vira par.
d) Existem 2^9=512 tabuleiros. Agrupe-os em pares que diferem só no canto superior esquerdo. Pelo item c, em cada par um tabuleiro tem nota ímpar e o outro tem nota par, e essa troca leva tabuleiros ímpares em pares e vice-versa. Logo, exatamente metade dos tabuleiros tem nota ímpar: 512/2=256.
256 maneiras.
Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Lógica e raciocínio lógico.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2013 · Nível 2. Prova oficial ↗