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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2013

Nível 1 · Matemática: Transformações geométricas e localização

No quadriculado ao lado, as linhas horizontais e verticais representam ruas. Os pontos onde as ruas se cortam são as esquinas e a distância entre duas esquinas consecutivas quaisquer é 100 metros. No quadriculado estão indicadas quatro esquinas A, B, C e D. Qualquer caminho ligando as esquinas A e B tem, no mínimo, 300 metros; dizemos então que a distância entre A e B é 300 metros. Do mesmo modo, a distância entre as esquinas C e D é 200 metros.

Malha quadriculada de 8 por 4 retângulos com os pontos A, B, C e D marcados sobre interseções e dois caminhos destacados em linha vermelha: um ligando A a B com comprimento de 3 segmentos e outro ligando C a D com comprimento de 2 segmentos.

Malha quadriculada com a esquina P indicada na linha inferior.

a) Marque, no quadriculado ao lado, as esquinas que estão a 300 metros da esquina P.

Malha quadriculada com a esquina P na linha inferior e a esquina Q na linha superior.

b) Marque, no quadriculado ao lado, as esquinas cujas distâncias à esquina P e à esquina Q são iguais.

c) A figura mostra uma esquina S e quatro esquinas vizinhas J, L, M e N. Calcule a soma das distâncias de cada uma dessas esquinas aos pontos P e R.

Malha quadriculada com as esquinas N, S, L, M, J, P e R indicadas nas interseções.

esquina	distância a P	distância a R	distância a P + distância a R
S
J
L
M
N

d) Explique por que não há esquinas cujas distâncias às esquinas P e R, do item anterior, sejam iguais.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) As esquinas que estão a 300 metros da esquina P aparecem assinaladas em vermelho ao lado.

[Figura: malha quadriculada de ruas onde o ponto P está localizado na parte inferior e os pontos a uma distância de Manhattan igual a 300 metros estão destacados com círculos vermelhos nas esquinas correspondentes]

b) As esquinas equidistantes de P e de Q aparecem em azul na figura ao lado, com a indicação de suas distâncias a P e Q.

[Figura: malha quadriculada com as esquinas P e Q indicadas e os pontos equidistantes assinalados em azul com as distâncias 600, 500, 400, 300, 300, 300, 400, 500 e 600]

c) A tabela preenchida aparece a seguir.

Ponto	Distância a P	Distância a R	Soma das distâncias a P e a R
S	400	700	1100
J	300	800	1100
L	300	600	900
M	500	600	1100
N	500	800	1300

d) O item anterior mostra que, ao passar de uma esquina qualquer para uma de suas vizinhas, a soma das distâncias a P e a R muda por um múltiplo de 200. Como em S essa soma não é um múltiplo de 200 e podemos chegar a qualquer esquina a partir de S passando de vizinha a vizinha, segue que essa soma não é um múltiplo de 200 em todas as esquinas. Logo não há esquina equidistante de P e R, pois em uma tal esquina a soma de suas distâncias a P e a R seria um múltiplo de 200.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Coloque as esquinas em coordenadas (x,y), com x de 0 a 8 (da esquerda para a direita) e y de 0 a 4 (de baixo para cima), cada unidade valendo 100 m. Pelas figuras, P=(3,0), Q=(5,4) e R=(6,4). No item c, S=(1,2), J=(1,1), M=(1,3), N=(0,2) e L=(2,2). A distância entre duas esquinas é |\Delta x|+|\Delta y|, em centenas de metros.

a) Queremos |x-3|+y=3.

y=0: x=0 ou x=6.
y=1: x=1 ou x=5.
y=2: x=2 ou x=4.
y=3: x=3.

São 7 esquinas: (0,0), (6,0), (1,1), (5,1), (2,2), (4,2) e (3,3). Elas formam um "triângulo" com vértice em (3,3) e base na linha inferior. Esquinas a 300 m de P: (0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0).

b) Impomos |x-3|+y=|x-5|+(4-y), ou seja, 2y=4+|x-5|-|x-3|.

Se x\le 3: |x-5|-|x-3|=2, logo y=3. Esquinas (0,3),(1,3),(2,3),(3,3).
Se x\ge 5: |x-5|-|x-3|=-2, logo y=1. Esquinas (5,1),(6,1),(7,1),(8,1).
Se x=4: 2y=4+1-1=4, logo y=2. Esquina (4,2).

Conferindo (4,2): a distância a P é 1+2=3 e a Q é 1+2=3. São 9 esquinas: (0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(4,2),(5,1),(6,1),(7,1),(8,1).

c) Com P=(3,0) e R=(6,4), em metros:

esquina	a P	a R	soma
S	400	700	1100
J	300	800	1100
L	300	600	900
M	500	600	1100
N	500	800	1300

Somas: S = 1100 m, J = 1100 m, L = 900 m, M = 1100 m, N = 1300 m.

d) Em centenas de metros, a distância de uma esquina (x,y) a P é |x-3|+y, e a R é |x-6|+|y-4|. Um número tem a mesma paridade que o seu módulo, então a soma das duas distâncias tem a mesma paridade de

(x-3)+y+(x-6)+(y-4)=2x+2y-13,

que é sempre ímpar. Se as distâncias fossem iguais, a soma seria 2d, que é par. Isso é impossível. (Os valores da tabela, 11, 11, 9, 11 e 13, são todos ímpares.) Como a soma das duas distâncias é sempre ímpar, elas nunca podem ser iguais.

Assunto: Transformações geométricas e localização.

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Questão 5 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2ª fase 2013 · Nível 1. Prova oficial ↗