Questão 1 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2013

Question

Cirilo associa a cada palavra um número, da seguinte maneira: ele troca cada letra por um número, usando a tabela abaixo e, em seguida, multiplica esses números.

Desenho de Cirilo escrevendo com giz em uma lousa verde a palavra OBMEP e a multiplicação correspondente às letras: 15 × 2 × 13 × 5 × 16 = 31200.

A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26

Por exemplo, o número associado à palavra MAR é 13 \times 1 \times 18 = 234.

a) Qual é o número associado à palavra CABIDE?

b) Escreva uma palavra com quatro letras cujo número associado seja 455.

c) Explique por que não existe uma palavra cujo número associado seja 2013.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2013

Nível 2 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Cirilo associa a cada palavra um número, da seguinte maneira: ele troca cada letra por um número, usando a tabela abaixo e, em seguida, multiplica esses números.

Desenho de Cirilo escrevendo com giz em uma lousa verde a palavra OBMEP e a multiplicação correspondente às letras: 15 × 2 × 13 × 5 × 16 = 31200.

A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26

Por exemplo, o número associado à palavra MAR é 13 \times 1 \times 18 = 234.

a) Qual é o número associado à palavra CABIDE?

b) Escreva uma palavra com quatro letras cujo número associado seja 455.

c) Explique por que não existe uma palavra cujo número associado seja 2013.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Temos da tabela \text{C} \to 3, \text{A} \to 1, \text{B} \to 2, \text{I} \to 9, \text{D} \to 4 e \text{E} \to 5. O número da palavra CABIDE é então 3\times 1\times 2\times 9\times 4\times 5 = 1080.

b) A decomposição de 455 em fatores primos é 455 = 5\times 7\times 13 ; as letras correspondentes a 5, 7 e 13 são, respectivamente, E, G e M. Como A corresponde a 1, qualquer palavra formada pelas letras A, E, G e M é uma solução do problema; por exemplo, GEMA.

c) A fatoração de 2013 em fatores primos é 2013 = 3\times 11\times 61. Isso mostra que em qualquer produto cujo resultado seja 2013 aparece um fator que é múltiplo de 61. Como o maior número associado a uma letra é 26, concluímos que não é possível escrever uma palavra cujo número associado seja 2013.

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Resolução comentada

a) Pela tabela, C = 3, A = 1, B = 2, I = 9, D = 4 e E = 5. Multiplicando:

3\times 1\times 2\times 9\times 4\times 5 = 1080

O número associado a CABIDE é 1080.

b) Fatore 455 para ver quais valores de letras podem aparecer no produto:

455 = 5\times 91 = 5\times 7\times 13

Temos três fatores, mas a palavra precisa de quatro letras. Basta completar com o fator 1, que é a letra A.

Os valores 5, 7, 13, 1 correspondem às letras E, G, M, A. Por exemplo, MEGA dá 13\times 5\times 7\times 1 = 455.

Uma resposta possível é MEGA (qualquer permutação dessas letras também serve).

c) Fatorando:

2013 = 3\times 671 = 3\times 11\times 61

O número 61 é primo. Se 2013 fosse o produto dos números das letras, o primo 61 dividiria esse produto. Como 61 é primo, ele teria de dividir pelo menos um dos fatores. Mas cada fator é um número de 1 a 26, e nenhum deles é múltiplo de 61.

Logo, nenhuma palavra tem número associado igual a 2013.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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Questão 1 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2ª fase 2013 · Nível 2. Prova oficial ↗