PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 6 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2013
Dois grilos, Adonis e Basílio, pulam sempre para a frente; Adonis só dá pulos de 1 cm ou 8 cm e Basílio só dá pulos de 1 cm ou 7 cm. Eles percorrem qualquer distância com o menor número de pulos possível. Por exemplo, Adonis percorre 16 cm com apenas dois pulos de 8 cm cada, enquanto Basílio precisa de quatro pulos, sendo dois de 7 cm e outros dois de 1 cm. Por outro lado, para percorrer 15 cm, Adonis precisa de oito pulos, sendo um de 8 cm e sete de 1 cm, enquanto Basílio precisa de apenas três pulos, sendo dois de 7 cm e um de 1 cm.
Indicando por A(d) e B(d), respectivamente, o número de pulos que Adonis e Basílio dão para percorrer d centímetros, temos A(15) = 8, B(15) = 3, A(16) = 2 e B(16) = 4.
a) Complete a tabela abaixo.
| d: distância em cm | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A(d): número de pulos de Adonis | 1 | 2 | 8 | 2 | ||||||||||||
| B(d): número de pulos de Basílio | 1 | 2 | 3 | 4 |
b) Encontre um número d entre 200 e 240 tal que B(d) < A(d) (isto é, encontre uma distância entre 200 cm e 240 cm tal que, para percorrê-la, Basílio dá menos pulos do que Adonis).
c) Encontre o maior número d tal que B(d) = A(d).
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) Adonis usa o maior número possível de pulos de 8 cm e completa com pulos de 1 cm. Então, se d = 8q + r com 0 \le r < 8, temos A(d) = q + r. O raciocínio de Basílio é o mesmo com 7 cm: se d = 7p + s com 0 \le s < 7, temos B(d) = p + s.
Aplicando as duas fórmulas de d=1 a d=16:
| d | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A(d) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 2 |
| B(d) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 2 | 3 | 4 |
Tabela preenchida acima.
b) Queremos uma distância em que Adonis precise de muitos pulos de 1 cm (resto 7 na divisão por 8) e Basílio não precise de nenhum (múltiplo de 7). Um número que é múltiplo de 7 e deixa resto 7 na divisão por 8 serve.
Testando d = 231 = 7\cdot 33:
- Basílio: B(231) = 33.
- Adonis: 231 = 8\cdot 28 + 7, logo A(231) = 28 + 7 = 35.
Como 33 < 35, a distância serve.
d = 231 cm. Outras respostas também valem, por exemplo d = 215.
c) Escreva d = 56m + t, com 0 \le t < 56 e 56 = 7\cdot 8. Como 56 é múltiplo de 7 e de 8:
A igualdade A(d)=B(d) equivale a A(t) - B(t) = m.
Precisamos então do maior valor possível de A(t)-B(t), para t de 0 a 55.
- Se t = 8k + 7, então A(t) = k + 7. Já B(t) \ge \lfloor t/7 \rfloor \ge k + 1. Logo a diferença é no máximo 6, e só vale 6 se k=0, isto é, t = 7.
- Se t = 8k + r com r \le 6, então A(t) = k + r \le k + 6. Para a diferença ser 6, teríamos B(t) = k, o que exigiria t = 7k e 8k+6=7k, impossível. Logo a diferença é no máximo 5.
Portanto A(t) - B(t) \le 6, e o valor 6 só ocorre em t = 7. Assim m \le 6. O maior d ocorre com m = 6 e t = 7:
Conferindo: 343 = 8\cdot 42 + 7 dá A = 49, e 343 = 7\cdot 49 dá B = 49. Para d > 343 não há igualdade.
d = 343 cm.
Assuntos: Sequências e padrões, Inequações e desigualdades.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2013 · Nível 2. Prova oficial ↗