Questão 4 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2013

Question

A assinatura geométrica de um número natural formado por algarismos diferentes de 0 é uma sequência de segmentos traçados sobre um quadriculado cujos quadradinhos têm 1 cm de lado. Os segmentos são traçados a partir de um ponto fixo P, para a direita, para baixo, para a esquerda, para cima, para a direita e assim por diante. O tamanho dos segmentos depende dos algarismos do número, como exemplificado a seguir.

Assinatura geométrica do número 123

Para obter a assinatura geométrica do número 334524, traça-se um segmento de 3 cm para a direita a partir de P, outro de 3 cm para baixo, outro de 4 cm para a esquerda, outro de 5 cm para cima, outro de 2 cm para a direita e outro de 4 cm para baixo. Na figura, vemos as assinaturas geométricas dos números 123, 233411 e 334524.

Malha quadriculada com o ponto P

a) Trace no quadriculado a assinatura geométrica do número 123456.

b) Quantos são os números de quatro algarismos que têm assinatura geométrica fechada, isto é, começando e terminando em P?

c) Quantos são os números de cinco algarismos que têm assinatura geométrica fechada?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2013

Nível 2 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

A assinatura geométrica de um número natural formado por algarismos diferentes de 0 é uma sequência de segmentos traçados sobre um quadriculado cujos quadradinhos têm 1 cm de lado. Os segmentos são traçados a partir de um ponto fixo P, para a direita, para baixo, para a esquerda, para cima, para a direita e assim por diante. O tamanho dos segmentos depende dos algarismos do número, como exemplificado a seguir.

Assinatura geométrica do número 123

Para obter a assinatura geométrica do número 334524, traça-se um segmento de 3 cm para a direita a partir de P, outro de 3 cm para baixo, outro de 4 cm para a esquerda, outro de 5 cm para cima, outro de 2 cm para a direita e outro de 4 cm para baixo. Na figura, vemos as assinaturas geométricas dos números 123, 233411 e 334524.

Malha quadriculada com o ponto P

a) Trace no quadriculado a assinatura geométrica do número 123456.

b) Quantos são os números de quatro algarismos que têm assinatura geométrica fechada, isto é, começando e terminando em P?

c) Quantos são os números de cinco algarismos que têm assinatura geométrica fechada?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) A assinatura geométrica de 123456 aparece na figura ao lado.

[Figura: Malha quadriculada mostrando o traçado a partir do ponto P: 1 unidade para a direita, 2 unidades para baixo, 3 unidades para a esquerda, 4 unidades para cima, 5 unidades para a direita e 6 unidades para baixo]

b) Seja abcd um número com quatro algarismos a, b, c e d não nulos. A assinatura geométrica de abcd possui quatro segmentos consecutivos de comprimentos a, b, c e d, traçados de acordo com o enunciado. Ela será fechada se e somente se esses traços formarem um retângulo, ou seja, se e somente se a=c e b=d. Temos as escolhas de 1 a 9 para a=c e também para b=d, num total de 9\times 9 = 81 escolhas; segue que temos 81 números de quatro algarismos cuja assinatura geométrica é fechada.

[Figura: Retângulo em malha quadriculada partindo do ponto P no canto superior esquerdo, com segmento horizontal superior a, segmento vertical direito b, segmento horizontal inferior c e segmento vertical esquerdo d que retorna a P]

c) Seja abcde um número com cinco algarismos a, b, c, d e e não nulos. Como no item anterior, a assinatura geométrica de abcde será fechada se e somente os segmentos de comprimento a, b, c, d e e formarem um retângulo como na figura ao lado, ou seja, se e somente se a+e=c e b=d. Como no item anterior, temos as escolhas de 1 a 9 para b=d.

[Figura: Retângulo em malha quadriculada partindo de um ponto P no lado superior, com segmento a para a direita, segmento vertical direito b para baixo, segmento inferior c para a esquerda, segmento vertical esquerdo d para cima e segmento e para a direita fechando em P]

Vamos agora contar de quantas maneiras é possível escolher a, c e e de modo que a+e=c. Exceto para o caso c=1, quando não há valores possíveis para a e e, podemos escolher valores de 1 até c-1 para a e, em cada caso, o valor de e fica determinado como c-a. Em outras palavras, para cada c é possível escolher a e e tais que a+e=c de c-1 maneiras diferentes (notamos que no caso c=1 temos c-1=0). Como c varia de 1 a 9, o número de escolhas possíveis para a e e é 0+1+2+3+4+5+6+7+8=36.

Finalmente, segue do princípio multiplicativo que temos 9\times 36 = 324 números de cinco algarismos cuja assinatura geométrica é fechada.

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Resolução comentada

a) Tome P como origem, com o eixo x para a direita e o eixo y para cima, e siga a regra: direita, baixo, esquerda, cima, direita, baixo, com comprimentos 1, 2, 3, 4, 5, 6 cm.

1 cm para a direita: de (0,0) a (1,0).
2 cm para baixo: até (1,-2).
3 cm para a esquerda: até (-2,-2).
4 cm para cima: até (-2,2).
5 cm para a direita: até (3,2).
6 cm para baixo: até (3,-4).

É só ligar esses pontos, na ordem, sobre o quadriculado. Todos os pontos cabem na malha mostrada.

Assinatura: P → (1,0) → (1,−2) → (−2,−2) → (−2,2) → (3,2) → (3,−4).

b) Seja o número abcd. Os segmentos são a para a direita, b para baixo, c para a esquerda e d para cima.

Para voltar a P, o deslocamento horizontal total deve ser nulo, ou seja, a-c=0. O deslocamento vertical também deve ser nulo, ou seja, b-d=0.

Logo c=a e d=b. Os algarismos a e b são livres, de 1 a 9, então há 9\cdot 9=81 números.

81 números.

c) Seja o número abcde. Os segmentos são a para a direita, b para baixo, c para a esquerda, d para cima e e para a direita.

Na horizontal: a-c+e=0, ou seja, c=a+e. Como c é um algarismo, a+e\le 9.
Na vertical: -b+d=0, ou seja, d=b.

Contagem:

O par (a,e) de algarismos de 1 a 9 com a+e\le 9. Para soma s há s-1 pares, com s de 2 a 9. Total: 1+2+\dots+8=36 pares. Nesses casos c fica determinado.
O algarismo b tem 9 escolhas, e d=b fica determinado.

Total: 36\cdot 9=324.

324 números.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Questão 4 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2ª fase 2013 · Nível 2. Prova oficial ↗