Questão 6 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2012

Resolução comentada

a)

Numere as linhas de cima para baixo e as colunas da esquerda para a direita. Do segundo para o terceiro estágio, ficam contaminadas três novas casas: (2,4), (4,2) e (5,3). Cada uma tem pelo menos dois vizinhos contaminados no segundo estágio.

Usando ■ para casa contaminada e □ para casa não contaminada, o terceiro estágio é:

□ □ □ □ ■
□ □ □ ■ ■
□ □ ■ ■ ■
□ ■ ■ ■ ■
□ ■ ■ ■ ■

A contaminação continua preenchendo as lacunas das quatro colunas da direita, até chegar ao sexto estágio:

□ ■ ■ ■ ■
□ ■ ■ ■ ■
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□ ■ ■ ■ ■
□ ■ ■ ■ ■

A primeira coluna permanece branca: enquanto nenhuma de suas casas está contaminada, cada uma tem, no máximo, um vizinho contaminado, na segunda coluna.

O último estágio é o sexto, com todas as casas das quatro colunas da direita contaminadas.

b)

No terceiro estágio, as casas contaminadas são consecutivas em cada linha e em cada coluna. Assim, cada uma das cinco linhas ocupadas apresenta dois lados verticais no contorno; cada uma das quatro colunas ocupadas apresenta dois lados horizontais.

Como cada lado mede 1\ \text{cm}, o perímetro é:

No último estágio, a região contaminada é um retângulo de largura 4\ \text{cm} e altura 5\ \text{cm}. Portanto:

Os perímetros do terceiro e do último estágios são, ambos, 18\ \text{cm}.

c)

Uma possibilidade é contaminar inicialmente as cinco casas da diagonal principal:

■ □ □ □ □
□ ■ □ □ □
□ □ ■ □ □
□ □ □ ■ □
□ □ □ □ ■

No estágio seguinte, cada casa imediatamente ao lado dessa diagonal tem dois vizinhos contaminados e também se contamina. O mesmo acontece, sucessivamente, com as faixas seguintes, dos dois lados da diagonal.

Mais precisamente, uma casa na linha \ell e na coluna c fica contaminada no estágio |\ell-c|+1. Como a maior diferença entre linha e coluna é 4, todo o tabuleiro estará contaminado no quinto estágio.

Basta contaminar inicialmente os cinco quadrados da diagonal principal.

d)

Considere uma casa que será contaminada e que tem k lados em comum com casas já contaminadas. Pela regra, k\geq 2.

Quando essa casa é acrescentada à região contaminada, os k lados compartilhados deixam de fazer parte do contorno. Em compensação, aparecem no contorno os outros 4-k lados da nova casa. Portanto, a variação do perímetro é:

Para calcular a mudança de um estágio inteiro, podemos acrescentar suas novas casas uma de cada vez. Cada uma continua tendo pelo menos dois vizinhos já contaminados, pois esses vizinhos estavam contaminados no estágio anterior.

Como cada nova casa mantém ou diminui o perímetro, o perímetro de contaminação nunca aumenta.

e)

Se inicialmente há n quadrados contaminados, cada um contribui com, no máximo, 4\ \text{cm} para o perímetro. Lados compartilhados entre eles não pertencem ao contorno, podendo apenas reduzir essa medida. Assim:

Quando todo o tabuleiro está contaminado, seu contorno é o de um quadrado de lado 5\ \text{cm}:

Pelo item anterior, o perímetro não aumenta. Logo, para contaminar todo o tabuleiro, é necessário que:

Com menos de cinco quadrados contaminados inicialmente, é impossível contaminar todo o tabuleiro.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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