PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 2 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2012
Uma contaminação em um tabuleiro 5 \times 5, formado por quadrados de 1\text{ cm} de lado, propaga-se em estágios de acordo com as seguintes regras:
• quadrados contaminados, indicados em cinza, permanecem contaminados no estágio seguinte;
• um quadrado não contaminado, indicado em branco, torna-se contaminado no estágio seguinte quando tem pelo menos dois lados comuns com quadrados contaminados; caso contrário, permanece não contaminado;
• a contaminação acaba quando não é possível contaminar novos quadrados.
a) Complete a figura abaixo, desenhando o terceiro e o último estágios da contaminação nos respectivos tabuleiros.
\cdots 
O perímetro de contaminação de um estágio é a medida do contorno da área contaminada. Por exemplo, os perímetros de contaminação do primeiro e do segundo estágios da contaminação ilustrada são 24\text{ cm} e 20\text{ cm}, respectivamente, como mostram as linhas em destaque na figura do item a.
b) Escreva os perímetros de contaminação do terceiro e do último estágios da contaminação do item a.
c) Desenhe um estágio com apenas 5 quadrados contaminados tal que, ao final da contaminação, todo o tabuleiro fique contaminado.
d) Explique por que o perímetro de contaminação nunca aumenta de um estágio para o seguinte.
e) Explique por que não é possível contaminar todo o tabuleiro a partir de um estágio com menos de 5 quadrados contaminados.
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) Vou chamar cada quadrado de (linha, coluna), contando de cima para baixo e da esquerda para a direita. No 1º estágio os cinzas da figura são (1,5), (3,3), (3,5), (4,4), (5,2) e (5,5). São 6 quadrados, o que combina com o perímetro de 24 cm (6\cdot 4).
O 2º estágio tem cinzas: toda a coluna 5, as linhas 3 a 5 da coluna 4, (3,3), (4,3) e (5,2).
3º estágio. Um quadrado branco fica cinza se tiver pelo menos 2 vizinhos cinzas no 2º estágio:
- (2,4): vizinhos (2,5) e (3,4).
- (4,2): vizinhos (4,3) e (5,2).
- (5,3): vizinhos (5,2), (5,4) e (4,3).
O 3º estágio fica com a coluna 5 inteira, as linhas 2 a 5 da coluna 4, as linhas 3 a 5 da coluna 3 e as linhas 4 e 5 da coluna 2. É uma "escada" com 14 quadrados.
Continuando, entram no estágio seguinte (1,4), (2,3) e (3,2). Depois entram (1,3) e (2,2), depois (1,2), e aí a contaminação para: (1,1), (2,1), (3,1), (4,1) e (5,1) têm no máximo 1 vizinho cinza.
Último estágio: todos os quadrados cinzas, exceto os da coluna 1 (a primeira coluna da esquerda fica toda em branco).
b) O 3º estágio é uma escada que cabe num retângulo de 5\times 4. Nesse tipo de figura, o contorno tem o mesmo comprimento do contorno do retângulo.
Conferindo pela contagem de lados: são 14 quadrados, com 19 pares de lados comuns. Então P=4\cdot 14-2\cdot 19=56-38=18 cm.
O último estágio é um retângulo 4\times 5, com P=2(4+5)=18 cm.
Perímetros: 18 cm no 3º estágio e 18 cm no último.
c) Basta contaminar a diagonal principal: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) e (5,5).
- Todo quadrado (i,i+1) tem como vizinhos (i,i) e (i+1,i+1), que são cinzas. Ele é contaminado, e o mesmo vale para (i+1,i).
- Então todo quadrado (i,i+2) tem vizinhos (i,i+1) e (i+1,i+2) já contaminados, e assim por diante, até as quinas.
O tabuleiro inteiro fica contaminado. Resposta: os 5 quadrados da diagonal.
d) Suponha que um quadrado branco seja contaminado. Ele tinha k\ge 2 lados comuns com quadrados contaminados.
- Esses k lados deixam de fazer parte do contorno, e o perímetro diminui k.
- Os outros 4-k lados passam a fazer parte do contorno, e o perímetro aumenta 4-k.
A variação é (4-k)-k=4-2k\le 0 para k\ge 2. Se vários quadrados são contaminados no mesmo estágio, podemos acrescentá-los um de cada vez: cada um continua com pelo menos 2 vizinhos contaminados. Logo o perímetro nunca aumenta.
e) Com n quadrados contaminados no início, o perímetro é no máximo 4n, que é o caso de quadrados sem lados comuns.
Se o tabuleiro todo ficar contaminado, o perímetro final é 4\cdot 5=20 cm. Como o perímetro nunca aumenta, devemos ter 20\le 4n, ou seja, n\ge 5. Com menos de 5 quadrados o perímetro inicial seria no máximo 16<20, e ele nunca chegaria a 20. Portanto são necessários pelo menos 5 quadrados.
Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2012 · Nível 3. Prova oficial ↗