PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 4 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2012
Uma contaminação em um tabuleiro 5 \times 5, formado por quadrados de 1\text{ cm} de lado, propaga-se em estágios de acordo com as seguintes regras:
• quadrados contaminados, indicados em cinza, permanecem contaminados no estágio seguinte;
• um quadrado não contaminado, indicado em branco, torna-se contaminado no estágio seguinte quando tem pelo menos dois lados comuns com quadrados contaminados; caso contrário, permanece não contaminado;
• a contaminação acaba quando não é possível contaminar novos quadrados.
a) Complete a figura abaixo, desenhando o terceiro e o último estágios da contaminação nos respectivos tabuleiros.
\dots 
O perímetro de contaminação de um estágio é a medida do contorno da área contaminada. Por exemplo, os perímetros de contaminação do primeiro e do segundo estágios da contaminação ilustrada são 24\text{ cm} e 20\text{ cm}, respectivamente, como mostram as linhas em destaque na figura do item a.
b) Escreva os perímetros de contaminação do terceiro e do último estágios da contaminação do item a.
c) Desenhe um estágio com apenas 5 quadrados contaminados tal que, ao final da contaminação, todo o tabuleiro fique contaminado.
d) Explique por que o perímetro de contaminação nunca aumenta de um estágio para o seguinte.
e) Explique por que não é possível contaminar todo o tabuleiro a partir de um estágio com menos de 5 quadrados contaminados.
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) Numeração: (linha, coluna), de cima para baixo e da esquerda para a direita. No 1º estágio estão cinza (1,5), (3,3), (3,5), (4,4), (5,2) e (5,5). Esses 6 quadrados não têm lados comuns, e isso confere com o perímetro de 6\cdot 4=24 cm.
No 2º estágio ficam cinza esses 6 e mais (2,5), (3,4), (4,3), (4,5) e (5,4), que têm 2 ou mais vizinhos contaminados. São 11 quadrados.
Para o 3º estágio, testamos os brancos vizinhos de cinza. Contaminam-se (2,4), (4,2) e (5,3), com 2 vizinhos cinza cada. Não se contaminam, por exemplo, (3,2), (2,3) e (1,4), que têm só 1 vizinho cinza. Ficam cinza:
- linha 1: coluna 5;
- linha 2: colunas 4 e 5;
- linha 3: colunas 3 a 5;
- linha 4: colunas 2 a 5;
- linha 5: colunas 2 a 5.
Continuando:
- Passo seguinte: entram (3,2), (2,3) e (1,4).
- Depois: (2,2) e (1,3).
- Depois: (1,2).
- Depois disso, nenhum quadrado da coluna 1 tem 2 vizinhos cinza, pois cada um tem no máximo 1 vizinho cinza na coluna 2 e os da própria coluna são brancos.
O último estágio tem cinza todo o retângulo formado pelas colunas 2 a 5, e só a coluna 1 fica branca.
Resposta: 3º estágio, a escada descrita acima, com 14 quadrados cinza. Último estágio, as colunas 2 a 5 cinza e a coluna 1 branca.
b) O contorno do 3º estágio é uma "escada": a região cinza vai de cima para baixo e da direita para a esquerda sem reentrâncias. Por isso seu perímetro é igual ao do retângulo que a envolve, de 5 linhas por 4 colunas:
No último estágio a região é exatamente o retângulo 5\times4, com o mesmo perímetro, 18 cm.
Resposta: 18 cm (3º estágio) e 18 cm (último estágio).
c) Pinte a diagonal principal: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5).
Todo quadrado (i,i+1) ou (i+1,i) encostado na diagonal tem dois vizinhos pintados, (i,i) e (i+1,i+1). Então eles são contaminados no estágio seguinte.
Agora estão pintadas a diagonal e as duas paralelas vizinhas. Os quadrados das diagonais seguintes, como (i,i+2), têm dois vizinhos pintados, (i,i+1) e (i+1,i+2), e são contaminados. O processo continua até cobrir os 25 quadrados.
Resposta: os 5 quadrados da diagonal principal (ou da outra diagonal).
d) Um quadrado branco só é contaminado se tem pelo menos 2 lados comuns com quadrados contaminados. Imagine contaminar os novos quadrados um por vez. Cada um tem pelo menos 2 lados encostados em quadrados que já estavam contaminados no estágio anterior, e esses continuam contaminados.
Se k lados desse quadrado (k\ge2) encostam em contaminados, esses k lados saem do contorno. Os outros 4-k lados passam a fazer parte dele, inclusive os lados da borda do tabuleiro, que contam no perímetro. A variação do perímetro é
Contaminar novos quadrados que se encostam entre si só pode tirar mais lados do contorno. Logo o perímetro nunca aumenta.
Resposta: cada quadrado contaminado novo tem pelo menos 2 lados em comum com a área já contaminada, então retira do contorno pelo menos tantos lados quanto acrescenta.
e) Com n quadrados contaminados, o perímetro é no máximo 4n, que é o caso de quadrados sem lados em comum. Se n\le4, o perímetro inicial é no máximo 16 cm.
O tabuleiro totalmente contaminado tem perímetro 4\cdot5=20 cm. Pelo item d, o perímetro nunca aumenta, então de um perímetro \le16 nunca se chega a 20.
Resposta: com menos de 5 quadrados o perímetro inicial é no máximo 16 cm e nunca chega aos 20 cm do tabuleiro todo.
Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2012 · Nível 2. Prova oficial ↗