Solução oficial da OBMEP
a) O número 9 pode ser escrito como soma de duas parcelas inteiras de quatro maneiras diferentes: 9 = 1 + 8 = 2 + 7 = 3 + 6 = 4 + 5 . Como a ordem em que os cartões são escolhidos não altera sua soma, segue que Vítor pode escolher dois cartões azuis cujos números somam 9 de 4 maneiras diferentes.
b) 1ª solução: Podemos escrever 9 como soma de dois números de 1 a 8 de 4 maneiras: 9 = 1 + 8 = 2 + 7 = 3 + 6 = 4 + 5 . No caso de cartões com a mesma cor, escolhemos uma das expressões de 9 como soma e depois a cor dos cartões; como as cores são em número de 3, isso pode ser feito de 4 \times 3 = 12 maneiras. No caso de cartões de cores diferentes, escolhemos uma das expressões de 9, a cor de um dos cartões e uma cor diferente para o outro cartão; isso pode ser feito de 4 \times 3 \times 2 = 24 maneiras diferentes. No total, é possível escolher dois cartões cuja soma seja 9 de 12 + 24 = 36 maneiras diferentes.
2ª solução: Para fazer uma escolha possível, Vitor deve pegar um par de cartões de modo que a soma de seus números seja igual a 9. Os números desses cartões podem ser escolhidos de 4 maneiras diferentes, como vimos no item anterior. Para cada um desses pares, a cor do cartão com o menor número pode ser escolhida de 3 maneiras diferentes, bem como a cor do cartão com o maior número; no total, as cores dos cartões de um par podem ser escolhidas de 3 \times 3 = 9 maneiras diferentes. Como são 4 pares, o número total de escolhas é 4 \times 9 = 36 .
c) 1ª solução: Há três casos a considerar.
Os três cartões têm a mesma cor: as possibilidades para que sua soma 9 seja são 9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 2 + 3 + 4 ; como são 3 cores, o número de possiblidades nesse caso é 3 \times 3 = 9 .Dois cartões de uma cor e o terceiro de uma cor diferente: os dois cartões da mesma cor somam de 3 a 8; as possibilidades são aqui 3 = 1 + 2 , 4 = 1 + 3 , 5 = 1 + 4 = 2 + 3 , 6 = 1 + 5 = 2 + 4 , 7 = 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4 e 8 = 1 + 7 = 2 + 6 = 3 + 5 , num total de 12 possibilidades; em qualquer caso, para completar a soma 9, o terceiro cartão pode ser escolhido de uma única maneira. Para as cores, temos 3 possibilidades para os cartões de mesma cor e 2 para o de cor diferente. No total, temos 12 \times 1 \times 3 \times 2 = 72 possibilidades nesse caso.Os cartões têm cores diferentes: listamos a seguir as 28 possibilidades nesse caso; as letras A, B e V indicam, respectivamente, azul, branco e vermelho.
A
1
1
7
1
1
2
2
6
6
1
1
3
3
5
5
1
4
4
2
2
5
2
2
3
3
4
4
3
B
1
7
1
2
6
1
6
1
2
3
5
1
5
1
3
4
1
4
2
5
2
3
4
2
4
2
3
3
V
7
1
1
6
2
6
1
2
1
5
3
5
1
3
1
4
4
1
5
2
2
4
3
4
2
3
2
3
No total, o número de maneiras é então 9 + 72 + 28 = 109 .
2ª solução: Para fazer uma escolha possível, Vitor deve pegar um trio de cartões cuja soma seja igual a 9. Quanto aos números, há sete possibilidades para esses trios:
9 = 1 + 1 + 7 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 = 2 + 2 + 5 = 2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3
(3,3,3) — os três números são iguais.
(1,2,6), (1,3,5) e (2,3,4) — os três números são diferentes.
(1,1,7), (1,4,4) e (2,2,5) — um número é repetido duas vezes e o terceiro é diferente.
Há uma única maneira de escolher cartões para o trio (3,3,3), a saber, um de cada cor. Já para os trios do segundo tipo, cada um dos números pode aparecer em qualquer das cores; nesse caso, há 3 \times 3 \times 3 = 27 maneiras de escolher um desses trios. Como são 3 trios, o total aqui é 3 \times 27 = 81 possibilidades.
Para um trio do terceiro tipo, devemos escolher duas cores distintas para os números repetidos, o que pode ser feito de 3 maneiras (AB, AV e BV) e depois uma cor qualquer para o número diferente, o que pode ser feito de 3 maneiras. Nesse caso, o total de possibilidades é 3 \times 3 = 9 ; como são 3 trios desse tipo, obtemos 3 \times 9 = 27 possibilidades.
Finalmente, o número total de possibilidades é a soma das possibilidades de cada caso, ou seja, 1 + 81 + 27 = 109 .
Ver como a OBMEP publicou Publicada pela banca.
Resolução comentada
a) Os cartões azuis têm números distintos de 1 a 8. Os pares com soma 9 são \{1,8\} , \{2,7\} , \{3,6\} e \{4,5\} .
Como há só um cartão azul de cada número, cada par dá uma única escolha.
4 maneiras.
b) Agora os cartões podem ser de qualquer cor, e dois cartões com o mesmo número mas de cores diferentes são cartões diferentes.
Os pares de números com soma 9 são os mesmos quatro: \{1,8\} , \{2,7\} , \{3,6\} , \{4,5\} . Como 9 é ímpar, os dois números nunca são iguais.
Para cada par, há 3 cartões com o primeiro número (um de cada cor) e 3 com o segundo. Isso dá 3\cdot 3=9 escolhas por par.
Total: 4\cdot 9=36 .
36 maneiras.
c) Primeiro, vejo quais trios de números somam 9, com números de 1 a 8 que podem se repetir (cores diferentes):
1+2+6 , 1+3+5 , 2+3+4 (três números distintos); 1+1+7 , 2+2+5 , 4+4+1 (dois números iguais); 3+3+3 (três iguais).
Agora conto os cartões de cada tipo:
Três números distintos: cada número pode vir de 3 cores, então 3\cdot3\cdot3=27 por trio. Como são 3 trios, 3\cdot 27=81 .
Dois números iguais, como 1,1,7 : escolho 2 dos 3 cartões com o número repetido, \binom{3}{2}=3 maneiras, e 3 cartões para o outro número. Isso dá 3\cdot3=9 por trio. Como são 3 trios, 3\cdot 9=27 .
3+3+3 : é preciso pegar os três cartões 3 (azul, branco e verde), só 1 maneira.
Total: 81+27+1=109 .
109 maneiras.
Assunto: Combinações e binômio de Newton .
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