Cláudia gosta de montar sólidos colando cubinhos de aresta 1\ \text{cm}. Ela sempre usa um pingo de cola entre duas faces de cubinhos que ficam em contato; por exemplo, para montar o sólido ao lado ela usou 7 pingos de cola.
a) Quantos pingos ela vai usar para montar um cubo de aresta 2\ \text{cm}?
b) Quantos pingos ela vai usar para montar um cubo de aresta 3\ \text{cm}?
c) Cláudia montou o sólido ao lado, com quatro camadas de cubinhos. Quantos pingos de cola ela usou?
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Resolução comentada
a) Cada pingo corresponde a um par de cubinhos vizinhos, ou seja, a uma face em contato. Vamos contar esses pares em cada uma das três direções (comprimento, largura e altura).
No cubo 2\times2\times2, em cada direção há 1 contato entre os dois cubinhos de cada fileira, e há 2\cdot 2=4 fileiras nessa direção. Isso dá 4 pingos por direção.
Como são 3 direções:
3\cdot 4=12
Resposta: 12 pingos.
b) No cubo 3\times3\times3, cada fileira de 3 cubinhos tem 2 contatos, e há 3\cdot3=9 fileiras em cada direção. Isso dá 2\cdot 9=18 pingos por direção.
3\cdot 18=54
Resposta: 54 pingos.
c) As camadas são quadrados de lado 7, 5, 3 e 1. Separamos os pingos dentro de cada camada e os pingos entre camadas.
Dentro de uma camada n\times n: cada linha tem n-1 contatos, e há n linhas e n colunas. Logo são 2n(n-1) pingos.
Camada 7\times 7: 2\cdot7\cdot6=84
Camada 5\times 5: 2\cdot5\cdot4=40
Camada 3\times 3: 2\cdot3\cdot2=12
Camada 1\times 1: 0
Total dentro das camadas: 84+40+12+0=136.
Entre camadas: cada camada de cima apoia-se inteiramente sobre a de baixo, então cada cubinho da camada de cima recebe um pingo.
