Questão 5 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2012

Resolução comentada

a) O algarismo 1 tem 2 regiões vizinhas. Na primeira, Juca escolhe qualquer uma das 3 cores. Na segunda, ele só não pode repetir a cor da primeira, então tem 2 opções.

6 maneiras.

b) O algarismo 3 tem 4 regiões em sequência, cada uma vizinha apenas da anterior e da seguinte. A primeira tem 3 opções. Cada uma das outras tem 2 opções, pois só precisa diferir da região anterior.

24 maneiras.

c) O algarismo 0 é um anel dividido em 4 regiões. Cada região é vizinha de duas outras e a última fecha o ciclo com a primeira.

Como a última região é vizinha da anterior e da primeira, é preciso separar dois casos:

1. Se a 1ª e a 3ª regiões têm a mesma cor, há 3\times2\times1=6 jeitos de pintar essas três. A 4ª só precisa diferir dessa cor, e a 2ª também, então cada uma tem 2 opções. Total: 3\times 2\times 2=12.
2. Se a 1ª e a 3ª regiões têm cores diferentes, há 3\times2\times1=6 jeitos de escolher as cores da 1ª, da 2ª e da 3ª. A 4ª precisa diferir das duas cores usadas na 1ª e na 3ª, então tem 1 opção. Total: 6\times1=6.

Somando: 12+6=18.

18 maneiras.

d) Os algarismos são pintados de forma independente. Pelo princípio multiplicativo, multiplicamos as possibilidades de cada um (2, 0, 1 e 3):

12\times18\times6\times24 = 31\,104 maneiras.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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