PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 1 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2012
Uma empresa fabrica painéis luminosos retangulares divididos em quadrados de 1 metro de lado. No centro de cada quadrado é colocada uma lâmpada vermelha e nos vértices dos quadrados são colocadas lâmpadas azuis. A figura ao lado mostra que um painel de 2 metros por 3 metros tem 6 lâmpadas vermelhas e 12 azuis, das quais 10 estão em sua borda.
a) Quantas lâmpadas vermelhas há em um painel de 5 metros por 8 metros?
b) Quantas lâmpadas azuis há em um painel de 5 metros por 8 metros?
c) Quantas lâmpadas estão na borda de um painel no qual foram colocadas 72 lâmpadas vermelhas e 90 azuis?
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a) O painel de 5 m por 8 m tem 5 \times 8 = 40 quadrados de 1 m de lado. Cada quadrado tem uma lâmpada vermelha no centro, então são 40 lâmpadas vermelhas.
40 lâmpadas vermelhas.
b) As lâmpadas azuis ficam nos vértices dos quadrados. Em 5 m de altura há 6 linhas de vértices, e em 8 m de largura há 9 colunas. Os vértices formam uma grade de 6 \times 9 = 54 pontos.
Conferindo com o painel 2 \times 3 da figura: 3 \times 4 = 12 azuis, que bate com o enunciado.
54 lâmpadas azuis.
c) Seja o painel de m por n metros. Então:
- Vermelhas: mn = 72.
- Azuis: (m+1)(n+1) = 90, ou seja, mn + m + n + 1 = 90.
Substituindo mn = 72, temos m + n = 90 - 72 - 1 = 17.
As lâmpadas da borda são todas azuis, pois as vermelhas ficam no centro dos quadrados. Elas ocupam os vértices do contorno, que é o perímetro do retângulo, e há uma lâmpada por metro de contorno. A borda tem então 2(m+n) lâmpadas.
No painel 2 \times 3: 2(2+3) = 10, o que confere com o enunciado.
Aqui, 2 \times 17 = 34.
Como verificação, m e n são raízes de x^2 - 17x + 72 = 0, isto é, 8 e 9. O painel é 8 \times 9, com 72 vermelhas e 9 \times 10 = 90 azuis, como pedido.
34 lâmpadas na borda.
Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2012 · Nível 3. Prova oficial ↗